Номер 7.48, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.4. Основные формулы для sinα и cosα. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.48, страница 214.

7.48 Запишите основное тригонометрическое тождество.

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Основное тригонометрическое тождество — это равенство, связывающее синус и косинус одного и того же угла. Оно гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла всегда равна единице.

Формула основного тригонометрического тождества выглядит следующим образом:

$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $

где $ \alpha $ — это любой угол.

Это тождество можно доказать с помощью единичной окружности. Рассмотрим окружность с радиусом $ R = 1 $, центр которой находится в начале координат $ (0;0) $. Возьмем на окружности произвольную точку $ M $ с координатами $ (x; y) $. Угол, образованный радиус-вектором $ OM $ и положительным направлением оси абсцисс (оси Ox), обозначим как $ \alpha $.

По определению тригонометрических функций на единичной окружности:

• синус угла $ \alpha $ — это ордината точки $ M $, то есть $ \sin\alpha = y $;
• косинус угла $ \alpha $ — это абсцисса точки $ M $, то есть $ \cos\alpha = x $.

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $ R $ имеет вид $ x^2 + y^2 = R^2 $. Для единичной окружности, где $ R=1 $, уравнение принимает вид:

$ x^2 + y^2 = 1 $

Теперь подставим в это уравнение значения $ x $ и $ y $, выраженные через тригонометрические функции:

$ (\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha)^2 = 1 $

Это равенство принято записывать в более короткой форме, опуская скобки:

$ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $

Это тождество справедливо для любого значения угла $ \alpha $ и является одним из самых важных в тригонометрии. Оно позволяет, зная значение одной из функций (синуса или косинуса), найти значение другой (с точностью до знака, который определяется координатной четвертью, в которой находится угол).

Ответ: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.