Номер 7.42, страница 210 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.42, страница 210.

7.42 Отметьте на единичной окружности все точки, соответствующие углам $\alpha$, для которых:

а) $\cos \alpha > 0$;

б) $\cos \alpha < 0$;

в) $\sin \alpha \le 0$;

г) $\sin \alpha \ge 0$.

На единичной окружности каждой точке $P$ соответствует угол $\alpha$. Координаты этой точки равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$. Таким образом, $\cos \alpha$ — это абсцисса (координата по оси $x$), а $\sin \alpha$ — это ордината (координата по оси $y$) точки на единичной окружности.

а) $ \cos \alpha > 0 $
Неравенство $ \cos \alpha > 0 $ означает, что абсцисса точки на единичной окружности должна быть положительной. Это соответствует всем точкам, находящимся в правой полуплоскости, то есть в I и IV координатных четвертях. Граничные точки, лежащие на оси ординат (где $ \cos \alpha = 0 $, то есть углы $ \frac{\pi}{2} $ и $ \frac{3\pi}{2} $), не включаются, так как неравенство строгое.
Ответ: Точки, расположенные на дуге единичной окружности в I и IV координатных четвертях, исключая точки на оси ординат. Этим точкам соответствуют углы $ \alpha $ из промежутка $ (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos \alpha < 0 $
Неравенство $ \cos \alpha < 0 $ означает, что абсцисса точки на единичной окружности должна быть отрицательной. Это соответствует всем точкам, находящимся в левой полуплоскости, то есть во II и III координатных четвертях. Граничные точки, лежащие на оси ординат (где $ \cos \alpha = 0 $), не включаются.
Ответ: Точки, расположенные на дуге единичной окружности во II и III координатных четвертях, исключая точки на оси ординат. Этим точкам соответствуют углы $ \alpha $ из промежутка $ (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \sin \alpha \le 0 $
Неравенство $ \sin \alpha \le 0 $ означает, что ордината точки на единичной окружности должна быть отрицательной или равной нулю. Это соответствует всем точкам, находящимся в нижней полуплоскости (III и IV четверти), включая точки на оси абсцисс (где $ \sin \alpha = 0 $, то есть углы $ 0 $ и $ \pi $).
Ответ: Точки, расположенные на дуге единичной окружности в III и IV координатных четвертях, включая точки на оси абсцисс. Этим точкам соответствуют углы $ \alpha $ из промежутка $ [\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $ (или, что то же самое, $ [-\pi + 2\pi k, 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $).

г) $ \sin \alpha \ge 0 $
Неравенство $ \sin \alpha \ge 0 $ означает, что ордината точки на единичной окружности должна быть положительной или равной нулю. Это соответствует всем точкам, находящимся в верхней полуплоскости (I и II четверти), включая точки на оси абсцисс (где $ \sin \alpha = 0 $).
Ответ: Точки, расположенные на дуге единичной окружности в I и II координатных четвертях, включая точки на оси абсцисс. Этим точкам соответствуют углы $ \alpha $ из промежутка $ [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.