Номер 7.38, страница 210 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.3. Определение синуса и косинуса угла - номер 7.38, страница 210.

Условие.

7.38 Отметьте на единичной окружности точки, соответствующие углам, радианная мера которых равна 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Определите знак синуса и знак косинуса для каждого из этих углов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы отметить на единичной окружности точки и определить знаки синуса и косинуса, необходимо определить, в какой координатной четверти находится каждый угол. Для этого сравним радианные меры углов с ключевыми значениями на окружности, используя приближение $ \pi \approx 3.14 $.

• I четверть: угол $ \alpha $ находится в промежутке $ 0 < \alpha < \pi/2 \approx 1.57 $. Знаки: $ \sin(\alpha) > 0, \cos(\alpha) > 0 $.
• II четверть: угол $ \alpha $ находится в промежутке $ \pi/2 \approx 1.57 < \alpha < \pi \approx 3.14 $. Знаки: $ \sin(\alpha) > 0, \cos(\alpha) < 0 $.
• III четверть: угол $ \alpha $ находится в промежутке $ \pi \approx 3.14 < \alpha < 3\pi/2 \approx 4.71 $. Знаки: $ \sin(\alpha) < 0, \cos(\alpha) < 0 $.
• IV четверть: угол $ \alpha $ находится в промежутке $ 3\pi/2 \approx 4.71 < \alpha < 2\pi \approx 6.28 $. Знаки: $ \sin(\alpha) < 0, \cos(\alpha) > 0 $.

Проанализируем каждый из заданных углов:

Угол 1 радиан

Поскольку $ 0 < 1 < 1.57 $, то есть $ 0 < 1 < \pi/2 $, точка, соответствующая этому углу, расположена в I четверти. В этой четверти и синус, и косинус имеют знак «+».

Ответ: $ \sin(1) > 0 $, $ \cos(1) > 0 $.

Угол 2 радиана

Поскольку $ 1.57 < 2 < 3.14 $, то есть $ \pi/2 < 2 < \pi $, точка, соответствующая этому углу, расположена во II четверти. В этой четверти синус имеет знак «+», а косинус — знак «−».

Ответ: $ \sin(2) > 0 $, $ \cos(2) < 0 $.

Угол 3 радиана

Поскольку $ 1.57 < 3 < 3.14 $, то есть $ \pi/2 < 3 < \pi $, точка, соответствующая этому углу, расположена во II четверти. В этой четверти синус имеет знак «+», а косинус — знак «−».

Ответ: $ \sin(3) > 0 $, $ \cos(3) < 0 $.

Угол 4 радиана

Поскольку $ 3.14 < 4 < 4.71 $, то есть $ \pi < 4 < 3\pi/2 $, точка, соответствующая этому углу, расположена в III четверти. В этой четверти и синус, и косинус имеют знак «−».

Ответ: $ \sin(4) < 0 $, $ \cos(4) < 0 $.

Угол 5 радиан

Поскольку $ 4.71 < 5 < 6.28 $, то есть $ 3\pi/2 < 5 < 2\pi $, точка, соответствующая этому углу, расположена в IV четверти. В этой четверти синус имеет знак «−», а косинус — знак «+».

Ответ: $ \sin(5) < 0 $, $ \cos(5) > 0 $.

Угол 6 радиан

Поскольку $ 4.71 < 6 < 6.28 $, то есть $ 3\pi/2 < 6 < 2\pi $, точка, соответствующая этому углу, расположена в IV четверти. В этой четверти синус имеет знак «−», а косинус — знак «+».

Ответ: $ \sin(6) < 0 $, $ \cos(6) > 0 $.

Угол 7 радиан

Угол в 7 радиан больше полного оборота ($ 2\pi \approx 6.28 $). Чтобы найти его положение на единичной окружности, найдем соответствующий ему угол в пределах первого оборота: $ 7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72 $ радиан. Поскольку $ 0 < 0.72 < 1.57 $, то есть $ 0 < 7 - 2\pi < \pi/2 $, точка, соответствующая этому углу, расположена в I четверти. В этой четверти и синус, и косинус имеют знак «+».

Ответ: $ \sin(7) > 0 $, $ \cos(7) > 0 $.