Номер 7.34, страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.3. Определение синуса и косинуса угла - номер 7.34, страница 209.

Условие.

7.34 a) На единичной окружности постройте точки $A_{\alpha}$, соответствующие углам $\alpha$, равным $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$. Найдите синусы и косинусы этих углов.

б) Постройте точки, симметричные точкам $A_{\alpha}$ относительно: оси $Ox$; оси $Oy$; начала системы координат. Определите радианную меру углов, которым соответствуют построенные точки. Найдите синусы и косинусы этих углов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Точки $A_\alpha$ на единичной окружности строятся путем откладывания угла $\alpha$ от положительного направления оси Ox (оси абсцисс) против часовой стрелки. Координаты точки $A_\alpha$ равны $(\cos(\alpha), \sin(\alpha))$.

- При $\alpha = 0$, точка $A_0$ совпадает с точкой $(1, 0)$.
$\cos(0) = 1$
$\sin(0) = 0$

- При $\alpha = \frac{\pi}{6}$, точка $A_{\pi/6}$ находится в первой четверти.
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

- При $\alpha = \frac{\pi}{4}$, точка $A_{\pi/4}$ находится в первой четверти.
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

- При $\alpha = \frac{\pi}{3}$, точка $A_{\pi/3}$ находится в первой четверти.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

- При $\alpha = \frac{\pi}{2}$, точка $A_{\pi/2}$ совпадает с точкой $(0, 1)$.
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Ответ:
Для $\alpha=0$: $\cos(0)=1$, $\sin(0)=0$.
Для $\alpha=\frac{\pi}{6}$: $\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$.
Для $\alpha=\frac{\pi}{4}$: $\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для $\alpha=\frac{\pi}{3}$: $\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$, $\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для $\alpha=\frac{\pi}{2}$: $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, $\sin(\frac{\pi}{2})=1$.

б)

Пусть точка $A_\alpha$ имеет координаты $(x, y) = (\cos\alpha, \sin\alpha)$.

- Точка, симметричная $A_\alpha$ относительно оси Ox, имеет координаты $(x, -y)$. Ей соответствует угол $-\alpha$. Синус нового угла равен $-\sin\alpha$, а косинус равен $\cos\alpha$.

- Точка, симметричная $A_\alpha$ относительно оси Oy, имеет координаты $(-x, y)$. Ей соответствует угол $\pi - \alpha$. Синус нового угла равен $\sin\alpha$, а косинус равен $-\cos\alpha$.

- Точка, симметричная $A_\alpha$ относительно начала системы координат, имеет координаты $(-x, -y)$. Ей соответствует угол $\pi + \alpha$. Синус нового угла равен $-\sin\alpha$, а косинус равен $-\cos\alpha$.

Найдем радианные меры углов и значения синусов и косинусов для симметричных точек.

Симметрия относительно оси Ox (новый угол $\beta = -\alpha$):
- для $\alpha=0$: $\beta=0$; $\cos(0)=1$, $\sin(0)=0$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{6}$: $\beta=-\frac{\pi}{6}$; $\cos(-\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{4}$: $\beta=-\frac{\pi}{4}$; $\cos(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{3}$: $\beta=-\frac{\pi}{3}$; $\cos(-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$, $\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{2}$: $\beta=-\frac{\pi}{2}$; $\cos(-\frac{\pi}{2})=0$, $\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$.

Симметрия относительно оси Oy (новый угол $\gamma = \pi-\alpha$):
- для $\alpha=0$: $\gamma=\pi$; $\cos(\pi)=-1$, $\sin(\pi)=0$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{6}$: $\gamma=\frac{5\pi}{6}$; $\cos(\frac{5\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{5\pi}{6})=\frac{1}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{4}$: $\gamma=\frac{3\pi}{4}$; $\cos(\frac{3\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\frac{3\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{3}$: $\gamma=\frac{2\pi}{3}$; $\cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}$, $\sin(\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{2}$: $\gamma=\frac{\pi}{2}$; $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, $\sin(\frac{\pi}{2})=1$.

Симметрия относительно начала координат (новый угол $\delta = \pi+\alpha$):
- для $\alpha=0$: $\delta=\pi$; $\cos(\pi)=-1$, $\sin(\pi)=0$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{6}$: $\delta=\frac{7\pi}{6}$; $\cos(\frac{7\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(\frac{7\pi}{6})=-\frac{1}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{4}$: $\delta=\frac{5\pi}{4}$; $\cos(\frac{5\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(\frac{5\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{3}$: $\delta=\frac{4\pi}{3}$; $\cos(\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}$, $\sin(\frac{4\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- для $\alpha=\frac{\pi}{2}$: $\delta=\frac{3\pi}{2}$; $\cos(\frac{3\pi}{2})=0$, $\sin(\frac{3\pi}{2})=-1$.

Ответ:
1. Симметрия относительно оси Ox:
Углы: $0, -\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}$.
Их косинусы: $1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0$.
Их синусы: $0, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1$.
2. Симметрия относительно оси Oy:
Углы: $\pi, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$.
Их косинусы: $-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}, 0$.
Их синусы: $0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$.
3. Симметрия относительно начала координат:
Углы: $\pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}$.
Их косинусы: $-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{1}{2}, 0$.
Их синусы: $0, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -1$.