Номер 7.30, страница 209 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.30, страница 209.

Вычислите, сделав рисунок (7.30–7.32):

7.30 а) $ \sin 120^\circ $; б) $ \cos \frac{2\pi}{3} $; в) $ \sin 135^\circ $; г) $ \cos \frac{3\pi}{4} $;

д) $ \sin \frac{5\pi}{6} $; е) $ \cos 150^\circ $; ж) $ \sin \pi $; з) $ \cos 180^\circ $.

а) sin 120°

Для вычисления $sin 120°$ воспользуемся единичной окружностью. Рисунок: Начертим единичную окружность с центром в начале координат. Отложим от положительного направления оси абсцисс (Ox) угол $120°$ против часовой стрелки. Конечная сторона этого угла будет находиться во второй координатной четверти. Синус угла в единичной окружности равен ординате (координате y) точки пересечения конечной стороны угла с окружностью.

Угол $120°$ можно представить с помощью формулы приведения: $120° = 180° - 60°$. Применяя формулу $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$, получаем: $sin 120° = sin(180° - 60°) = sin 60°$. Значение синуса $60°$ является табличным: $sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) cos $\frac{2\pi}{3}$

Сначала переведем радианы в градусы, чтобы легче было представить угол: $\frac{2\pi}{3} = \frac{2 \cdot 180°}{3} = 120°$. Рисунок: Угол $120°$ на единичной окружности находится во второй четверти. Косинус угла в единичной окружности равен абсциссе (координате x) точки пересечения конечной стороны угла с окружностью. Во второй четверти значения косинуса отрицательны.

Используем формулу приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$: $cos 120° = cos(180° - 60°) = -cos 60°$. Табличное значение $cos 60° = \frac{1}{2}$. Следовательно, $cos \frac{2\pi}{3} = - \frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) sin 135°

Рисунок: На единичной окружности отложим угол $135°$. Его конечная сторона находится во второй четверти. Синус во второй четверти положителен.

Применим формулу приведения, представив $135° = 180° - 45°$: $sin 135° = sin(180° - 45°) = sin 45°$. Табличное значение $sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) cos $\frac{3\pi}{4}$

Переведем радианы в градусы: $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180°}{4} = 135°$. Рисунок: Угол $135°$ на единичной окружности находится во второй четверти. Косинус в этой четверти отрицателен.

Используем формулу приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$: $cos 135° = cos(180° - 45°) = -cos 45°$. Табличное значение $cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $cos \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

д) sin $\frac{5\pi}{6}$

Переведем радианы в градусы: $\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \cdot 180°}{6} = 150°$. Рисунок: Угол $150°$ на единичной окружности находится во второй четверти. Синус во второй четверти положителен.

Применим формулу приведения, представив $150° = 180° - 30°$: $sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30°$. Табличное значение $sin 30° = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

е) cos 150°

Рисунок: Угол $150°$ на единичной окружности находится во второй четверти. Косинус в этой четверти отрицателен.

Используем формулу приведения $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$: $cos 150° = cos(180° - 30°) = -cos 30°$. Табличное значение $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $cos 150° = - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

ж) sin $\pi$

Угол $\pi$ радиан равен $180°$. Рисунок: На единичной окружности угол $180°$ соответствует точке, лежащей на отрицательной части оси абсцисс. Координаты этой точки $(-1, 0)$.

Синус угла равен ординате (координате y) этой точки. $sin \pi = sin 180° = 0$.
Ответ: $0$

з) cos 180°

Рисунок: Угол $180°$ на единичной окружности соответствует точке с координатами $(-1, 0)$.

Косинус угла равен абсциссе (координате x) этой точки. $cos 180° = -1$.
Ответ: $-1$