Номер 7.23, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.2. Радианная мера угла - номер 7.23, страница 203.

Условие.

7.23 По рисунку 77 (см. с. 199) запишите:

а) наименьшую положительную радианную меру углов AOB, AOC, AOD, AOE;

б) наименьшую по абсолютной величине радианную меру углов AOB, AOC, AOD, AOE;

в) радианную меру всех возможных углов AOB, AOC, AOD, AOE. Например, все возможные углы AOB на рисунке 77, а можно записать в виде $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи будем исходить из стандартного расположения точек на единичной окружности, которое соответствует условию и примеру из задачи: точка A находится на положительной части оси Ox (угол 0), точка B — на положительной части оси Oy (угол $\frac{\pi}{2}$), точка C — на отрицательной части оси Ox (угол $\pi$), точка D — на отрицательной части оси Oy (угол $\frac{3\pi}{2}$ или $-\frac{\pi}{2}$), а точка E — в четвертой четверти, на биссектрисе координатного угла (угол $\frac{7\pi}{4}$ или $-\frac{\pi}{4}$).

а) наименьшую положительную радианную меру углов AOB, AOC, AOD, AOE;

Наименьшая положительная радианная мера — это значение угла $\alpha$, которое находится в промежутке $(0, 2\pi]$. Для ее нахождения мы измеряем угол от луча OA против часовой стрелки.

Угол AOB: Поворот от OA до OB против часовой стрелки составляет 90 градусов. В радианах это $90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{2}$.
Угол AOC: Поворот от OA до OC против часовой стрелки составляет 180 градусов. В радианах это $180^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \pi$.
Угол AOD: Поворот от OA до OD против часовой стрелки составляет 270 градусов. В радианах это $270^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{2}$.
Угол AOE: Поворот от OA до OE против часовой стрелки составляет 315 градусов (так как E находится в 4-й четверти, симметрично относительно оси Ox точке с углом 45°). В радианах это $315^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{7\pi}{4}$.
Ответ: $AOB = \frac{\pi}{2}$; $AOC = \pi$; $AOD = \frac{3\pi}{2}$; $AOE = \frac{7\pi}{4}$.

б) наименьшую по абсолютной величине радианную меру углов AOB, AOC, AOD, AOE;

Наименьшая по абсолютной величине радианная мера — это значение угла $\alpha$, которое находится в промежутке $(-\pi, \pi]$. Для ее нахождения мы выбираем кратчайший путь поворота от луча OA: против часовой стрелки (положительный угол) или по часовой стрелке (отрицательный угол).

Угол AOB: Кратчайший путь — против часовой стрелки на 90°, что равно $\frac{\pi}{2}$. $| \frac{\pi}{2} | < | \frac{\pi}{2} - 2\pi | = |-\frac{3\pi}{2}|$.
Угол AOC: Пути по и против часовой стрелки равны по длине (180°). Положительное значение $\pi$ входит в промежуток $(-\pi, \pi]$, а отрицательное $-\pi$ — нет. Поэтому выбираем $\pi$.
Угол AOD: Кратчайший путь — по часовой стрелке на 90°, что соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$. $|-\frac{\pi}{2}| < |\frac{3\pi}{2}|$.
Угол AOE: Кратчайший путь — по часовой стрелке на 45°, что соответствует углу $-\frac{\pi}{4}$. $|-\frac{\pi}{4}| < |\frac{7\pi}{4}|$.
Ответ: $AOB = \frac{\pi}{2}$; $AOC = \pi$; $AOD = -\frac{\pi}{2}$; $AOE = -\frac{\pi}{4}$.

в) радианную меру всех возможных углов AOB, AOC, AOD, AOE. Например, все возможные углы AOB на рисунке 77, а можно записать в виде $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы описать все возможные углы, мы к одной из радианных мер (обычно к наименьшей по модулю) прибавляем целое число полных оборотов ($2\pi$). Общая формула имеет вид $\alpha + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Угол AOB: Используем меру из пункта б). Получаем $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Угол AOC: Используем меру из пункта б). Получаем $\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Угол AOD: Используем меру из пункта б). Получаем $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Угол AOE: Используем меру из пункта б). Получаем $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $AOB: \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $AOC: \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $AOD: -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $AOE: -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.