Номер 7.27, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.27, страница 208.

7.27 Какие знаки имеют синус и косинус угла $ \alpha $, если точка единичной окружности, соответствующая углу $ \alpha $, расположена:

в I четверти;

во II четверти;

в III четверти;

в IV четверти?

Для определения знаков синуса и косинуса угла $\alpha$ используется единичная окружность, расположенная в центре декартовой системы координат. Любой точке $P$ на этой окружности, соответствующей углу $\alpha$, можно сопоставить ее координаты $(x; y)$. По определению, синус угла $\alpha$ равен ординате этой точки, а косинус — ее абсциссе:

$\sin(\alpha) = y$

$\cos(\alpha) = x$

Таким образом, знаки $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ зависят от знаков координат $y$ и $x$ в той координатной четверти, где расположена точка $P$.

в I четверти
Если точка расположена в I четверти, то ее абсцисса $x$ и ордината $y$ положительны ($x > 0, y > 0$). Следовательно, и синус, и косинус угла $\alpha$ положительны.
Ответ: $\sin(\alpha) > 0$, $\cos(\alpha) > 0$.

во II четверти
Если точка расположена во II четверти, ее абсцисса $x$ отрицательна ($x < 0$), а ордината $y$ положительна ($y > 0$). Следовательно, синус угла $\alpha$ положителен, а косинус — отрицателен.
Ответ: $\sin(\alpha) > 0$, $\cos(\alpha) < 0$.

в III четверти
Если точка расположена в III четверти, то ее абсцисса $x$ и ордината $y$ отрицательны ($x < 0, y < 0$). Следовательно, и синус, и косинус угла $\alpha$ отрицательны.
Ответ: $\sin(\alpha) < 0$, $\cos(\alpha) < 0$.

в IV четверти
Если точка расположена в IV четверти, ее абсцисса $x$ положительна ($x > 0$), а ордината $y$ отрицательна ($y < 0$). Следовательно, синус угла $\alpha$ отрицателен, а косинус — положителен.
Ответ: $\sin(\alpha) < 0$, $\cos(\alpha) > 0$.