Номер 7.25, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.3. Определение синуса и косинуса угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.25, страница 208.

7.25 а) Какую точку единичной окружности называют точкой, соответствующей углу $ \alpha $?

б) Что называют: синусом угла $ \alpha $; косинусом угла $ \alpha $?

в) Для какого угла $ \alpha $ существует: $ \sin \alpha $; $ \cos \alpha $?

г) Единственный или нет для данного угла $ \alpha $: $ \sin \alpha $; $ \cos \alpha $?

а) В прямоугольной системе координат рассматривают единичную окружность — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1. Начальной точкой движения по окружности является точка $A(1,0)$. Точкой, соответствующей углу $\alpha$, называют точку на единичной окружности, в которую перейдет начальная точка $A(1,0)$ при повороте на угол $\alpha$ вокруг начала координат. Положительным считается поворот против часовой стрелки, а отрицательным — по часовой стрелке.

Ответ: Точкой, соответствующей углу $\alpha$, является точка, полученная в результате поворота начальной точки $(1,0)$ на единичной окружности на угол $\alpha$ вокруг центра координат.

б) Пусть точка $P(x, y)$ на единичной окружности соответствует углу $\alpha$.
Синусом угла $\alpha$ (обозначается $\sin \alpha$) называют ординату (координату $y$) точки $P$. Таким образом, $\sin \alpha = y$.
Косинусом угла $\alpha$ (обозначается $\cos \alpha$) называют абсциссу (координату $x$) точки $P$. Таким образом, $\cos \alpha = x$.

Ответ: Синусом угла $\alpha$ называют ординату ($y$), а косинусом — абсциссу ($x$) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.

в) Синус и косинус существуют для любого угла $\alpha$. Это следует из их определения: для любого действительного числа $\alpha$ (представляющего угол в градусах или радианах) можно выполнить поворот на единичной окружности и получить соответствующую точку. Любая точка на окружности имеет абсциссу и ординату, которые и являются косинусом и синусом данного угла. Следовательно, область определения функций $y = \sin \alpha$ и $y = \cos \alpha$ — это множество всех действительных чисел, $\alpha \in \mathbb{R}$.

Ответ: Синус и косинус существуют для любого действительного угла $\alpha$.

г) Да, для данного угла $\alpha$ значения его синуса и косинуса единственны. Это связано с тем, что для каждого конкретного угла $\alpha$ поворот начальной точки $(1,0)$ приводит к одной и только одной точке $P(x, y)$ на единичной окружности. Так как эта точка единственна, то и ее координаты $x$ и $y$ также единственны. Поскольку $\cos \alpha = x$ и $\sin \alpha = y$, значения косинуса и синуса для заданного угла $\alpha$ однозначно определены. Это основное свойство функции: каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Ответ: Да, для каждого данного угла $\alpha$ значения его синуса и косинуса единственны.