Номер 7.22, страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.2. Радианная мера угла - номер 7.22, страница 203.

Условие.

7.22 Запишите в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$, где $n$ — некоторое целое число ($0 \le \alpha < 2\pi$), следующие углы:

а) $6.5\pi$;

б) $\frac{9}{2}\pi$;

в) $-12\frac{1}{3}\pi$;

г) $-17\frac{1}{6}\pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы представить угол в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$, где $n$ — целое число и $0 \le \alpha < 2\pi$, необходимо выделить из данного угла целое число полных оборотов ($2\pi$), чтобы оставшийся угол $\alpha$ попал в заданный интервал.

а) Для угла $6,5\pi$:
Мы можем представить $6,5\pi$ как сумму целого числа оборотов и остатка.
$6,5\pi = 6\pi + 0,5\pi$.
Поскольку $6\pi = 3 \cdot 2\pi$, мы имеем $3$ полных оборота.
Таким образом, мы можем записать:
$6,5\pi = \frac{\pi}{2} + 3 \cdot 2\pi$.
Здесь $\alpha = \frac{\pi}{2}$ и $n=3$. Условие $0 \le \frac{\pi}{2} < 2\pi$ выполняется.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 3$.

б) Для угла $\frac{9}{2}\pi$:
Представим угол в виде десятичной дроби: $\frac{9}{2}\pi = 4,5\pi$.
Выделим целое число оборотов:
$4,5\pi = 4\pi + 0,5\pi$.
Поскольку $4\pi = 2 \cdot 2\pi$, мы имеем $2$ полных оборота.
Таким образом, мы можем записать:
$\frac{9}{2}\pi = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot 2\pi$.
Здесь $\alpha = \frac{\pi}{2}$ и $n=2$. Условие $0 \le \frac{\pi}{2} < 2\pi$ выполняется.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2$.

в) Для угла $-12\frac{1}{3}\pi$:
Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $-12\frac{1}{3}\pi = -\frac{37}{3}\pi$.
Чтобы найти $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$, мы должны прибавлять к отрицательному углу полные обороты $2\pi$ до тех пор, пока результат не станет положительным и меньше $2\pi$.
$-\frac{37}{3}\pi \approx -12,33\pi$. Ближайшее кратное $2\pi$, которое больше $12,33\pi$, это $14\pi = 7 \cdot 2\pi$.
Найдем $\alpha$:
$\alpha = -\frac{37}{3}\pi + 14\pi = -\frac{37}{3}\pi + \frac{42}{3}\pi = \frac{5\pi}{3}$.
Условие $0 \le \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ выполняется.
Теперь представим исходный угол в требуемом виде. Мы прибавили $14\pi$, значит, чтобы равенство сохранилось, мы должны записать это как добавление $2\pi \cdot n$.
$-\frac{37}{3}\pi = -\frac{37}{3}\pi + 14\pi - 14\pi = \frac{5\pi}{3} - 14\pi = \frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot (-7)$.
Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ и $n=-7$.
Ответ: $\frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot (-7)$.

г) Для угла $-17\frac{1}{6}\pi$:
Переведем смешанную дробь в неправильную: $-17\frac{1}{6}\pi = -\frac{103}{6}\pi$.
$-\frac{103}{6}\pi \approx -17,17\pi$. Ближайшее кратное $2\pi$, которое больше $17,17\pi$, это $18\pi = 9 \cdot 2\pi$.
Найдем $\alpha$:
$\alpha = -\frac{103}{6}\pi + 18\pi = -\frac{103}{6}\pi + \frac{108}{6}\pi = \frac{5\pi}{6}$.
Условие $0 \le \frac{5\pi}{6} < 2\pi$ выполняется.
Представим исходный угол в требуемом виде:
$-\frac{103}{6}\pi = -\frac{103}{6}\pi + 18\pi - 18\pi = \frac{5\pi}{6} - 18\pi = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-9)$.
Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ и $n=-9$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-9)$.