Страница 203 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.19 Известно, что $1 \text{ радиан} \approx 57^\circ$. Изобразите на глаз угол в 1; 2; 3; 4; 5; 6 радиан. Проверьте свой глазомер, измерив построенные углы с помощью транспортира.

Для того чтобы изобразить углы в радианах на глаз, сначала переведем их величину в градусы, используя данное в условии приближенное значение $1 \text{ радиан} \approx 57^\circ$. Затем, основываясь на полученных градусных мерах, можно нарисовать каждый угол, ориентируясь на известные углы, такие как прямой угол ($90^\circ$), развернутый угол ($180^\circ$) и полный угол ($360^\circ$). После построения "на глаз" точность можно проверить с помощью транспортира.

Угол в 1 радиан

Согласно условию, $1 \text{ радиан} \approx 57^\circ$. Этот угол является острым. Для сравнения, это немного больше, чем половина прямого угла ($90^\circ / 2 = 45^\circ$) и немного меньше, чем угол в равностороннем треугольнике ($60^\circ$). При построении нужно нарисовать угол, который чуть-чуть меньше $60^\circ$.

Ответ: $1 \text{ радиан} \approx 57^\circ$.

Угол в 2 радиана

Вычислим градусную меру для 2 радиан: $2 \times 57^\circ = 114^\circ$. Это тупой угол, так как он больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Он больше прямого угла на $114^\circ - 90^\circ = 24^\circ$. При построении нужно сначала представить прямой угол, а затем добавить к нему еще примерно четверть прямого угла.

Ответ: $2 \text{ радиана} \approx 114^\circ$.

Угол в 3 радиана

Вычислим градусную меру для 3 радиан: $3 \times 57^\circ = 171^\circ$. Это тупой угол, очень близкий к развернутому углу ($180^\circ$). Разница составляет всего $180^\circ - 171^\circ = 9^\circ$. При построении нужно нарисовать почти прямую линию, лишь немного "не дотянув" до развернутого угла.

Ответ: $3 \text{ радиана} \approx 171^\circ$.

Угол в 4 радиана

Вычислим градусную меру для 4 радиан: $4 \times 57^\circ = 228^\circ$. Этот угол больше развернутого ($180^\circ$), но меньше $270^\circ$. Его можно представить как развернутый угол плюс еще $228^\circ - 180^\circ = 48^\circ$. Это примерно развернутый угол плюс еще половина прямого угла. Такой угол называется углом больше развернутого или возвратным углом.

Ответ: $4 \text{ радиана} \approx 228^\circ$.

Угол в 5 радиан

Вычислим градусную меру для 5 радиан: $5 \times 57^\circ = 285^\circ$. Этот угол также больше развернутого. Он больше, чем три прямых угла ($270^\circ$), на $285^\circ - 270^\circ = 15^\circ$. Можно также представить его как полный угол ($360^\circ$), из которого вычли $360^\circ - 285^\circ = 75^\circ$. При построении можно от полного оборота "отступить" назад на угол, чуть меньший прямого.

Ответ: $5 \text{ радиан} \approx 285^\circ$.

Угол в 6 радиан

Вычислим градусную меру для 6 радиан: $6 \times 57^\circ = 342^\circ$. Этот угол очень близок к полному углу ($360^\circ$). Разница составляет $360^\circ - 342^\circ = 18^\circ$. При построении нужно нарисовать почти полный оборот, оставив небольшой незакрашенный сектор.

Ответ: $6 \text{ радиан} \approx 342^\circ$.

7.20 Какой угол больше:

а) 3 радиана или $\pi$ радиан;

б) 6 радиан или $2\pi$ радиан?

а) Чтобы сравнить два угла, заданных в радианах, необходимо сравнить их численные значения. В данном случае мы сравниваем 3 радиана и $\pi$ радиан. Для этого сравним числа 3 и $\pi$.

Число $\pi$ (пи) — это математическая константа, которая является иррациональным числом. Её приближенное значение составляет $\pi \approx 3,14159...$

Сравнивая число 3 с приближенным значением $\pi$, мы видим, что $3 < 3,14159...$, следовательно, $3 < \pi$.

Это означает, что угол в $\pi$ радиан больше, чем угол в 3 радиана.
Ответ: $\pi$ радиан.

б) Аналогично, чтобы сравнить 6 радиан и $2\pi$ радиан, сравним числа 6 и $2\pi$.

Мы знаем, что $\pi \approx 3,14159...$ Найдем приближенное значение для $2\pi$:

$2\pi \approx 2 \times 3,14159 = 6,28318...$

Теперь сравним число 6 с полученным значением: $6 < 6,28318...$, следовательно, $6 < 2\pi$.

Таким образом, угол в $2\pi$ радиан больше, чем угол в 6 радиан.
Ответ: $2\pi$ радиан.

7.21 Сколько полных оборотов и в каком направлении содержит угол, радианная мера которого равна:

а) $4\pi$; $-6\pi$; $12\pi$; $-7\pi$;

б) $-0.5\pi$; $3\frac{1}{3}\pi$; $-13.2\pi$; $21.7\pi$?

Чтобы определить количество полных оборотов и их направление для угла, заданного в радианах, необходимо выполнить следующие действия. Во-первых, определить направление вращения по знаку угла: положительный угол соответствует вращению против часовой стрелки (положительное направление), а отрицательный — по часовой стрелке (отрицательное направление). Во-вторых, чтобы найти количество полных оборотов, нужно модуль радианной меры угла разделить на $2\pi$ (величина одного полного оборота) и взять целую часть от результата.

а)

Для угла $4\pi$:
Количество оборотов вычисляется как $\frac{4\pi}{2\pi} = 2$.
Так как угол положительный, вращение происходит в положительном направлении.
Ответ: 2 полных оборота в положительном направлении.

Для угла $-6\pi$:
Количество оборотов вычисляется как $\frac{|-6\pi|}{2\pi} = 3$.
Так как угол отрицательный, вращение происходит в отрицательном направлении.
Ответ: 3 полных оборота в отрицательном направлении.

Для угла $12\pi$:
Количество оборотов вычисляется как $\frac{12\pi}{2\pi} = 6$.
Так как угол положительный, вращение происходит в положительном направлении.
Ответ: 6 полных оборотов в положительном направлении.

Для угла $-7\pi$:
Количество оборотов равно целой части от деления: $\lfloor \frac{|-7\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{7}{2} \rfloor = \lfloor 3.5 \rfloor = 3$.
Так как угол отрицательный, вращение происходит в отрицательном направлении.
Ответ: 3 полных оборота в отрицательном направлении.

б)

Для угла $-0,5\pi$:
Количество оборотов равно целой части от деления: $\lfloor \frac{|-0,5\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{0.5}{2} \rfloor = \lfloor 0.25 \rfloor = 0$.
Ответ: 0 полных оборотов.

Для угла $3\frac{1}{3}\pi$:
Переведем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{1}{3}\pi = \frac{10}{3}\pi$.
Количество оборотов: $\lfloor \frac{\frac{10}{3}\pi}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{10}{6} \rfloor = \lfloor 1\frac{2}{3} \rfloor = 1$.
Так как угол положительный, вращение происходит в положительном направлении.
Ответ: 1 полный оборот в положительном направлении.

Для угла $-13,2\pi$:
Количество оборотов: $\lfloor \frac{|-13,2\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{13.2}{2} \rfloor = \lfloor 6.6 \rfloor = 6$.
Так как угол отрицательный, вращение происходит в отрицательном направлении.
Ответ: 6 полных оборотов в отрицательном направлении.

Для угла $21,7\pi$:
Количество оборотов: $\lfloor \frac{21,7\pi}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{21.7}{2} \rfloor = \lfloor 10.85 \rfloor = 10$.
Так как угол положительный, вращение происходит в положительном направлении.
Ответ: 10 полных оборотов в положительном направлении.

7.22 Запишите в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$, где $n$ — некоторое целое число ($0 \le \alpha < 2\pi$), следующие углы:

а) $6.5\pi$;

б) $\frac{9}{2}\pi$;

в) $-12\frac{1}{3}\pi$;

г) $-17\frac{1}{6}\pi$.

Чтобы представить угол в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$, где $n$ — целое число и $0 \le \alpha < 2\pi$, необходимо выделить из данного угла целое число полных оборотов ($2\pi$), чтобы оставшийся угол $\alpha$ попал в заданный интервал.

а) Для угла $6,5\pi$:
Мы можем представить $6,5\pi$ как сумму целого числа оборотов и остатка.
$6,5\pi = 6\pi + 0,5\pi$.
Поскольку $6\pi = 3 \cdot 2\pi$, мы имеем $3$ полных оборота.
Таким образом, мы можем записать:
$6,5\pi = \frac{\pi}{2} + 3 \cdot 2\pi$.
Здесь $\alpha = \frac{\pi}{2}$ и $n=3$. Условие $0 \le \frac{\pi}{2} < 2\pi$ выполняется.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 3$.

б) Для угла $\frac{9}{2}\pi$:
Представим угол в виде десятичной дроби: $\frac{9}{2}\pi = 4,5\pi$.
Выделим целое число оборотов:
$4,5\pi = 4\pi + 0,5\pi$.
Поскольку $4\pi = 2 \cdot 2\pi$, мы имеем $2$ полных оборота.
Таким образом, мы можем записать:
$\frac{9}{2}\pi = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot 2\pi$.
Здесь $\alpha = \frac{\pi}{2}$ и $n=2$. Условие $0 \le \frac{\pi}{2} < 2\pi$ выполняется.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2$.

в) Для угла $-12\frac{1}{3}\pi$:
Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $-12\frac{1}{3}\pi = -\frac{37}{3}\pi$.
Чтобы найти $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi)$, мы должны прибавлять к отрицательному углу полные обороты $2\pi$ до тех пор, пока результат не станет положительным и меньше $2\pi$.
$-\frac{37}{3}\pi \approx -12,33\pi$. Ближайшее кратное $2\pi$, которое больше $12,33\pi$, это $14\pi = 7 \cdot 2\pi$.
Найдем $\alpha$:
$\alpha = -\frac{37}{3}\pi + 14\pi = -\frac{37}{3}\pi + \frac{42}{3}\pi = \frac{5\pi}{3}$.
Условие $0 \le \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ выполняется.
Теперь представим исходный угол в требуемом виде. Мы прибавили $14\pi$, значит, чтобы равенство сохранилось, мы должны записать это как добавление $2\pi \cdot n$.
$-\frac{37}{3}\pi = -\frac{37}{3}\pi + 14\pi - 14\pi = \frac{5\pi}{3} - 14\pi = \frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot (-7)$.
Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ и $n=-7$.
Ответ: $\frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot (-7)$.

г) Для угла $-17\frac{1}{6}\pi$:
Переведем смешанную дробь в неправильную: $-17\frac{1}{6}\pi = -\frac{103}{6}\pi$.
$-\frac{103}{6}\pi \approx -17,17\pi$. Ближайшее кратное $2\pi$, которое больше $17,17\pi$, это $18\pi = 9 \cdot 2\pi$.
Найдем $\alpha$:
$\alpha = -\frac{103}{6}\pi + 18\pi = -\frac{103}{6}\pi + \frac{108}{6}\pi = \frac{5\pi}{6}$.
Условие $0 \le \frac{5\pi}{6} < 2\pi$ выполняется.
Представим исходный угол в требуемом виде:
$-\frac{103}{6}\pi = -\frac{103}{6}\pi + 18\pi - 18\pi = \frac{5\pi}{6} - 18\pi = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-9)$.
Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ и $n=-9$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-9)$.

7.23 По рисунку 77 (см. с. 199) запишите:

а) наименьшую положительную радианную меру углов AOB, AOC, AOD, AOE;

б) наименьшую по абсолютной величине радианную меру углов AOB, AOC, AOD, AOE;

в) радианную меру всех возможных углов AOB, AOC, AOD, AOE. Например, все возможные углы AOB на рисунке 77, а можно записать в виде $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

Для решения задачи будем исходить из стандартного расположения точек на единичной окружности, которое соответствует условию и примеру из задачи: точка A находится на положительной части оси Ox (угол 0), точка B — на положительной части оси Oy (угол $\frac{\pi}{2}$), точка C — на отрицательной части оси Ox (угол $\pi$), точка D — на отрицательной части оси Oy (угол $\frac{3\pi}{2}$ или $-\frac{\pi}{2}$), а точка E — в четвертой четверти, на биссектрисе координатного угла (угол $\frac{7\pi}{4}$ или $-\frac{\pi}{4}$).

а) наименьшую положительную радианную меру углов AOB, AOC, AOD, AOE;

Наименьшая положительная радианная мера — это значение угла $\alpha$, которое находится в промежутке $(0, 2\pi]$. Для ее нахождения мы измеряем угол от луча OA против часовой стрелки.

Угол AOB: Поворот от OA до OB против часовой стрелки составляет 90 градусов. В радианах это $90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{2}$.
Угол AOC: Поворот от OA до OC против часовой стрелки составляет 180 градусов. В радианах это $180^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \pi$.
Угол AOD: Поворот от OA до OD против часовой стрелки составляет 270 градусов. В радианах это $270^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{2}$.
Угол AOE: Поворот от OA до OE против часовой стрелки составляет 315 градусов (так как E находится в 4-й четверти, симметрично относительно оси Ox точке с углом 45°). В радианах это $315^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{7\pi}{4}$.
Ответ: $AOB = \frac{\pi}{2}$; $AOC = \pi$; $AOD = \frac{3\pi}{2}$; $AOE = \frac{7\pi}{4}$.

б) наименьшую по абсолютной величине радианную меру углов AOB, AOC, AOD, AOE;

Наименьшая по абсолютной величине радианная мера — это значение угла $\alpha$, которое находится в промежутке $(-\pi, \pi]$. Для ее нахождения мы выбираем кратчайший путь поворота от луча OA: против часовой стрелки (положительный угол) или по часовой стрелке (отрицательный угол).

Угол AOB: Кратчайший путь — против часовой стрелки на 90°, что равно $\frac{\pi}{2}$. $| \frac{\pi}{2} | < | \frac{\pi}{2} - 2\pi | = |-\frac{3\pi}{2}|$.
Угол AOC: Пути по и против часовой стрелки равны по длине (180°). Положительное значение $\pi$ входит в промежуток $(-\pi, \pi]$, а отрицательное $-\pi$ — нет. Поэтому выбираем $\pi$.
Угол AOD: Кратчайший путь — по часовой стрелке на 90°, что соответствует углу $-\frac{\pi}{2}$. $|-\frac{\pi}{2}| < |\frac{3\pi}{2}|$.
Угол AOE: Кратчайший путь — по часовой стрелке на 45°, что соответствует углу $-\frac{\pi}{4}$. $|-\frac{\pi}{4}| < |\frac{7\pi}{4}|$.
Ответ: $AOB = \frac{\pi}{2}$; $AOC = \pi$; $AOD = -\frac{\pi}{2}$; $AOE = -\frac{\pi}{4}$.

в) радианную меру всех возможных углов AOB, AOC, AOD, AOE. Например, все возможные углы AOB на рисунке 77, а можно записать в виде $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы описать все возможные углы, мы к одной из радианных мер (обычно к наименьшей по модулю) прибавляем целое число полных оборотов ($2\pi$). Общая формула имеет вид $\alpha + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Угол AOB: Используем меру из пункта б). Получаем $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Угол AOC: Используем меру из пункта б). Получаем $\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Угол AOD: Используем меру из пункта б). Получаем $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Угол AOE: Используем меру из пункта б). Получаем $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $AOB: \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $AOC: \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $AOD: -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $AOE: -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.