Страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.15 a) Какой угол называют углом в 1 радиан?

б) Сколько радиан содержит полный оборот; половина полного оборота; четверть полного оборота?

a) Радианом называется единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ). Угол в 1 радиан — это центральный угол в окружности, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу этой окружности.
Если рассмотреть окружность радиусом `$r$`, то величина центрального угла `$\alpha$` в радианах, который опирается на дугу длиной `$l$`, вычисляется по формуле: `$\alpha = \frac{l}{r}$`
Когда длина дуги равна радиусу (`$l=r$`), то угол `$\alpha$` будет равен: `$\alpha = \frac{r}{r} = 1$` радиан.
Поскольку полный оборот равен `$360^\circ$`, а в радианах это `$2\pi$`, то 1 радиан в градусах равен `$ \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.2958^\circ $`.

Ответ: Углом в 1 радиан называют такой центральный угол, у которого длина дуги, на которую он опирается, равна радиусу окружности.

б) Для определения радианной меры различных частей оборота, мы используем тот факт, что полный оборот соответствует углу, опирающемуся на всю длину окружности.

• Полный оборот: Длина окружности с радиусом `$r$` равна `$C = 2\pi r$`. Угол, соответствующий полному обороту, в радианах равен отношению длины всей окружности к её радиусу: `$\alpha_{полный} = \frac{C}{r} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi$` радиан.
• Половина полного оборота: Это соответствует углу, который вдвое меньше полного оборота: `$\alpha_{половина} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi$` радиан. Это развернутый угол, равный `$180^\circ$`.
• Четверть полного оборота: Это соответствует углу, который вчетверо меньше полного оборота: `$\alpha_{четверть} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}$` радиан. Это прямой угол, равный `$90^\circ$`.

Ответ: Полный оборот содержит `$2\pi$` радиан; половина полного оборота — `$\pi$` радиан; четверть полного оборота — `$\frac{\pi}{2}$` радиан.

7.16 Выразите в радианах величину угла, градусная мера которого равна:

а) $360^\circ$; $180^\circ$; $90^\circ$; $270^\circ$; $0^\circ$;

б) $45^\circ$; $135^\circ$; $225^\circ$; $315^\circ$;

в) $60^\circ$; $120^\circ$; $240^\circ$; $300^\circ$;

г) $30^\circ$; $150^\circ$; $210^\circ$; $330^\circ$;

д) $-45^\circ$; $-90^\circ$; $-135^\circ$; $-180^\circ$;

е) $-270^\circ$; $-360^\circ$; $-1800^\circ$.

Для перевода величины угла из градусной меры в радианную используется формула: $ \alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ} $, где $ \alpha_{град} $ — величина угла в градусах, а $ \alpha_{рад} $ — величина угла в радианах.

а)

$ 360^\circ = 360^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = 2\pi $
$ 180^\circ = 180^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \pi $
$ 90^\circ = 90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{2} $
$ 270^\circ = 270^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3 \cdot 90}{2 \cdot 90}\pi = \frac{3\pi}{2} $
$ 0^\circ = 0^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = 0 $
Ответ: $ 2\pi; \pi; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; 0 $.

б)

$ 45^\circ = 45^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{4} $
$ 135^\circ = 135^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3 \cdot 45}{4 \cdot 45}\pi = \frac{3\pi}{4} $
$ 225^\circ = 225^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5 \cdot 45}{4 \cdot 45}\pi = \frac{5\pi}{4} $
$ 315^\circ = 315^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{7 \cdot 45}{4 \cdot 45}\pi = \frac{7\pi}{4} $
Ответ: $ \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} $.

в)

$ 60^\circ = 60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{3} $
$ 120^\circ = 120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2 \cdot 60}{3 \cdot 60}\pi = \frac{2\pi}{3} $
$ 240^\circ = 240^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{4 \cdot 60}{3 \cdot 60}\pi = \frac{4\pi}{3} $
$ 300^\circ = 300^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5 \cdot 60}{3 \cdot 60}\pi = \frac{5\pi}{3} $
Ответ: $ \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} $.

г)

$ 30^\circ = 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6} $
$ 150^\circ = 150^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5 \cdot 30}{6 \cdot 30}\pi = \frac{5\pi}{6} $
$ 210^\circ = 210^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{7 \cdot 30}{6 \cdot 30}\pi = \frac{7\pi}{6} $
$ 330^\circ = 330^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{11 \cdot 30}{6 \cdot 30}\pi = \frac{11\pi}{6} $
Ответ: $ \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} $.

д)

$ -45^\circ = -45^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{\pi}{4} $
$ -90^\circ = -90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{\pi}{2} $
$ -135^\circ = -135^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{3 \cdot 45}{4 \cdot 45}\pi = -\frac{3\pi}{4} $
$ -180^\circ = -180^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\pi $
Ответ: $ -\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{4}; -\pi $.

е)

$ -270^\circ = -270^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -\frac{3 \cdot 90}{2 \cdot 90}\pi = -\frac{3\pi}{2} $
$ -360^\circ = -360^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -2\pi $
$ -1800^\circ = -1800^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = -10\pi $
Ответ: $ -\frac{3\pi}{2}; -2\pi; -10\pi $.

7.17 Выразите в градусах величину угла, радианная мера которого равна:

а) $2\pi$; $\pi$; $\frac{\pi}{2}$; $\frac{3\pi}{2}$; $0$;

б) $\frac{\pi}{4}$; $\frac{3\pi}{4}$; $\frac{5\pi}{4}$; $\frac{7\pi}{4}$;

в) $\frac{\pi}{3}$; $\frac{2\pi}{3}$; $\frac{4\pi}{3}$; $\frac{5\pi}{3}$;

г) $\frac{\pi}{6}$; $\frac{5\pi}{6}$; $\frac{7\pi}{6}$; $\frac{11\pi}{6}$;

д) $-\frac{\pi}{2}$; $-\frac{\pi}{12}$; $-\frac{3\pi}{4}$; $-\frac{5\pi}{6}$;

е) $-\frac{\pi}{4}$; $-\frac{3\pi}{5}$; $-\frac{\pi}{6}$; $-\frac{7\pi}{6}$.

Для перевода величины угла из радианной меры в градусную используется основное соотношение: $\pi \text{ радиан} = 180^\circ$. Чтобы преобразовать угол из радиан в градусы, необходимо его значение в радианах умножить на множитель $\frac{180^\circ}{\pi}$.

а)

$2\pi \text{ рад} = 2\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

$\pi \text{ рад} = \pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 180^\circ$

$\frac{\pi}{2} \text{ рад} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

$\frac{3\pi}{2} \text{ рад} = \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{2} = 3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$

$0 \text{ рад} = 0 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 0^\circ$

Ответ: $360^\circ; 180^\circ; 90^\circ; 270^\circ; 0^\circ$.

б)

$\frac{\pi}{4} \text{ рад} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$

$\frac{3\pi}{4} \text{ рад} = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 3 \cdot \frac{180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

$\frac{5\pi}{4} \text{ рад} = \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot \frac{180^\circ}{4} = 5 \cdot 45^\circ = 225^\circ$

$\frac{7\pi}{4} \text{ рад} = \frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \cdot \frac{180^\circ}{4} = 7 \cdot 45^\circ = 315^\circ$

Ответ: $45^\circ; 135^\circ; 225^\circ; 315^\circ$.

в)

$\frac{\pi}{3} \text{ рад} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

$\frac{2\pi}{3} \text{ рад} = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 2 \cdot \frac{180^\circ}{3} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

$\frac{4\pi}{3} \text{ рад} = \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 4 \cdot \frac{180^\circ}{3} = 4 \cdot 60^\circ = 240^\circ$

$\frac{5\pi}{3} \text{ рад} = \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot \frac{180^\circ}{3} = 5 \cdot 60^\circ = 300^\circ$

Ответ: $60^\circ; 120^\circ; 240^\circ; 300^\circ$.

г)

$\frac{\pi}{6} \text{ рад} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$

$\frac{5\pi}{6} \text{ рад} = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot \frac{180^\circ}{6} = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

$\frac{7\pi}{6} \text{ рад} = \frac{7\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \cdot \frac{180^\circ}{6} = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$

$\frac{11\pi}{6} \text{ рад} = \frac{11\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 11 \cdot \frac{180^\circ}{6} = 11 \cdot 30^\circ = 330^\circ$

Ответ: $30^\circ; 150^\circ; 210^\circ; 330^\circ$.

д)

$-\frac{\pi}{2} \text{ рад} = -\frac{\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{2} = -90^\circ$

$-\frac{\pi}{12} \text{ рад} = -\frac{\pi}{12} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{12} = -15^\circ$

$\frac{3\pi}{4} \text{ рад} = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 3 \cdot \frac{180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

$-\frac{5\pi}{6} \text{ рад} = -\frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -5 \cdot \frac{180^\circ}{6} = -5 \cdot 30^\circ = -150^\circ$

Ответ: $-90^\circ; -15^\circ; 135^\circ; -150^\circ$.

е)

$-\frac{\pi}{4} \text{ рад} = -\frac{\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{4} = -45^\circ$

$-\frac{3\pi}{5} \text{ рад} = -\frac{3\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -3 \cdot \frac{180^\circ}{5} = -3 \cdot 36^\circ = -108^\circ$

$-\frac{\pi}{6} \text{ рад} = -\frac{\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{6} = -30^\circ$

$-\frac{7\pi}{6} \text{ рад} = -\frac{7\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -7 \cdot \frac{180^\circ}{6} = -7 \cdot 30^\circ = -210^\circ$

Ответ: $-45^\circ; -108^\circ; -30^\circ; -210^\circ$.

7.18 Известно, что $\pi \approx 3,14159$. Определите с недостатком с точностью до 0,01 радианную меру:

a) полного оборота;

б) половины полного оборота;

в) четверти полного оборота;

г) трети полного оборота.

Для решения данной задачи мы будем использовать приближенное значение числа $π \approx 3,14159$. Полный оборот равен $2π$ радиан. Определение значения "с недостатком с точностью до 0,01" означает, что после вычисления точного значения мы должны оставить только две цифры после запятой, отбросив остальные без округления.

а) полного оборота;

Радианная мера полного оборота составляет $2π$ радиан.
Вычислим приближенное значение: $2π \approx 2 \times 3,14159 = 6,28318$.
Теперь найдем это значение с недостатком с точностью до 0,01. Для этого отбросим все цифры после второго знака после запятой: $6,28$.
Ответ: 6,28

б) половины полного оборота;

Радианная мера половины полного оборота составляет $\frac{1}{2} \times 2π = π$ радиан.
Используем данное нам приближение: $π \approx 3,14159$.
Найдем значение с недостатком с точностью до 0,01, отбросив цифры после сотой доли: $3,14$.
Ответ: 3,14

в) четверти полного оборота;

Радианная мера четверти полного оборота составляет $\frac{1}{4} \times 2π = \frac{π}{2}$ радиан.
Вычислим приближенное значение: $\frac{π}{2} \approx \frac{3,14159}{2} = 1,570795$.
Найдем значение с недостатком с точностью до 0,01: $1,57$.
Ответ: 1,57

г) трети полного оборота.

Радианная мера трети полного оборота составляет $\frac{1}{3} \times 2π = \frac{2π}{3}$ радиан.
Вычислим приближенное значение: $\frac{2π}{3} \approx \frac{2 \times 3,14159}{3} = \frac{6,28318}{3} \approx 2,094393...$
Найдем значение с недостатком с точностью до 0,01: $2,09$.
Ответ: 2,09