Страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.11 Постройте без помощи транспортира на координатной плоскости углы:

а) $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$, $360^\circ$;

б) $45^\circ$, $135^\circ$, $225^\circ$, $315^\circ$;

в) $60^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$, $300^\circ$;

г) $30^\circ$, $150^\circ$, $210^\circ$, $330^\circ$;

д) $-45^\circ$, $-90^\circ$, $-135^\circ$, $-180^\circ$;

е) $-60^\circ$, $-120^\circ$, $-240^\circ$, $-300^\circ$.

Для построения угла на координатной плоскости без помощи транспортира мы определяем положение его второй (подвижной) стороны относительно положительного направления оси $Ox$, которое принимается за первую (начальную) сторону угла. Положительные углы откладываются против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. Построение сводится к нахождению координат любой точки, лежащей на второй стороне угла, и проведению луча из начала координат через эту точку.

а) 90°, 180°, 270°, 360°

Это так называемые "четвертные" или "осевые" углы, их вторые стороны совпадают с координатными осями.

• Угол 90°: Поворот на 90° против часовой стрелки от положительного направления оси $Ox$ совмещает вторую сторону угла с положительным направлением оси $Oy$. Для построения достаточно провести луч из начала координат вдоль положительной части оси $Oy$. Точка на луче, например, $(0, 1)$.
• Угол 180°: Вторая сторона угла совпадает с отрицательным направлением оси $Ox$. Проводим луч из начала координат вдоль отрицательной части оси $Ox$. Точка на луче, например, $(-1, 0)$.
• Угол 270°: Вторая сторона угла совпадает с отрицательным направлением оси $Oy$. Проводим луч из начала координат вдоль отрицательной части оси $Oy$. Точка на луче, например, $(0, -1)$.
• Угол 360°: Полный оборот. Вторая сторона угла совпадает с его начальной стороной, то есть с положительным направлением оси $Ox$. Точка на луче, например, $(1, 0)$.

Ответ: Для построения данных углов нужно провести лучи из начала координат вдоль положительного направления оси $Oy$ (90°), отрицательного направления оси $Ox$ (180°), отрицательного направления оси $Oy$ (270°) и положительного направления оси $Ox$ (360°).

б) 45°, 135°, 225°, 315°

Эти углы являются биссектрисами координатных четвертей. Их вторые стороны лежат на прямых $y=x$ и $y=-x$.

• Угол 45°: Это биссектриса I координатной четверти. Вторая сторона угла лежит на прямой $y=x$. Для построения достаточно выбрать любую точку на этой прямой в первой четверти, например, $(1, 1)$, и провести через нее луч из начала координат.
• Угол 135° (90°+45°): Это биссектриса II координатной четверти. Вторая сторона угла лежит на прямой $y=-x$. Выбираем точку во второй четверти, например, $(-1, 1)$, и проводим через нее луч.
• Угол 225° (180°+45°): Это биссектриса III координатной четверти. Вторая сторона угла лежит на прямой $y=x$. Выбираем точку в третьей четверти, например, $(-1, -1)$, и проводим через нее луч.
• Угол 315° (270°+45°): Это биссектриса IV координатной четверти. Вторая сторона угла лежит на прямой $y=-x$. Выбираем точку в четвертой четверти, например, $(1, -1)$, и проводим через нее луч.

Ответ: Для построения углов 45° и 225° нужно провести лучи из начала координат через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$ соответственно (вдоль прямой $y=x$). Для углов 135° и 315° нужно провести лучи через точки $(-1, 1)$ и $(1, -1)$ соответственно (вдоль прямой $y=-x$).

в) 60°, 120°, 240°, 300°

Эти углы строятся с помощью точек, координаты которых связаны с равносторонним треугольником (углы 60°). Координаты точек на единичной окружности для угла $\alpha$ равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

• Угол 60°: Координаты точки: $(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Для простоты построения можно взять точку с пропорциональными координатами, например, $(1, \sqrt{3})$.
• Угол 120° (180°-60°): Точка симметрична точке для 60° относительно оси $Oy$. Координаты: $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ или для простоты $(-1, \sqrt{3})$.
• Угол 240° (180°+60°): Точка симметрична точке для 60° относительно начала координат. Координаты: $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ или для простоты $(-1, -\sqrt{3})$.
• Угол 300° (360°-60°): Точка симметрична точке для 60° относительно оси $Ox$. Координаты: $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ или для простоты $(1, -\sqrt{3})$.

Ответ: Для построения данных углов нужно провести лучи из начала координат через точки $(1, \sqrt{3})$ для 60°, $(-1, \sqrt{3})$ для 120°, $(-1, -\sqrt{3})$ для 240° и $(1, -\sqrt{3})$ для 300°.

г) 30°, 150°, 210°, 330°

Эти углы также строятся с помощью характерных точек прямоугольного треугольника с углами 30° и 60°.

• Угол 30°: Координаты точки: $(\cos 30^\circ, \sin 30^\circ) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$. Для простоты построения можно взять точку $(\sqrt{3}, 1)$.
• Угол 150° (180°-30°): Точка симметрична точке для 30° относительно оси $Oy$. Координаты: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ или для простоты $(-\sqrt{3}, 1)$.
• Угол 210° (180°+30°): Точка симметрична точке для 30° относительно начала координат. Координаты: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ или для простоты $(-\sqrt{3}, -1)$.
• Угол 330° (360°-30°): Точка симметрична точке для 30° относительно оси $Ox$. Координаты: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ или для простоты $(\sqrt{3}, -1)$.

Ответ: Для построения данных углов нужно провести лучи из начала координат через точки $(\sqrt{3}, 1)$ для 30°, $(-\sqrt{3}, 1)$ для 150°, $(-\sqrt{3}, -1)$ для 210° и $(\sqrt{3}, -1)$ для 330°.

д) -45°, -90°, -135°, -180°

Отрицательные углы откладываются по часовой стрелке от положительного направления оси $Ox$.

• Угол -45°: Совпадает с углом $360^\circ - 45^\circ = 315^\circ$. Вторая сторона является биссектрисой IV четверти. Точка: $(1, -1)$.
• Угол -90°: Совпадает с углом $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$. Вторая сторона совпадает с отрицательным направлением оси $Oy$. Точка: $(0, -1)$.
• Угол -135°: Совпадает с углом $360^\circ - 135^\circ = 225^\circ$. Вторая сторона является биссектрисой III четверти. Точка: $(-1, -1)$.
• Угол -180°: Совпадает с углом $180^\circ$. Вторая сторона совпадает с отрицательным направлением оси $Ox$. Точка: $(-1, 0)$.

Ответ: Углы строятся аналогично их положительным эквивалентам: -45° как 315°, -90° как 270°, -135° как 225°, -180° как 180°.

е) -60°, -120°, -240°, -300°

Углы откладываются по часовой стрелке.

• Угол -60°: Совпадает с углом $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$. Точка: $(1, -\sqrt{3})$.
• Угол -120°: Совпадает с углом $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$. Точка: $(-1, -\sqrt{3})$.
• Угол -240°: Совпадает с углом $360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$. Точка: $(-1, \sqrt{3})$.
• Угол -300°: Совпадает с углом $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$. Точка: $(1, \sqrt{3})$.

Ответ: Углы строятся аналогично их положительным эквивалентам: -60° как 300°, -120° как 240°, -240° как 120°, -300° как 60°.

7.12 Среди данных углов:

а) $30^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

б) $-120^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

в) $270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

г) $-270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

д) $400^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

е) $-700^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$

найдите угол, абсолютная величина которого наименьшая.

Задача состоит в том, чтобы для каждого набора углов, заданного формулой, найти конкретный угол (путем выбора целочисленного значения $n$), который имеет наименьшую абсолютную величину. Иными словами, нужно найти угол, ближайший к $0^\circ$. Затем сравнить эти углы и выбрать наименьший по модулю из всех.

Для каждого случая $A = \alpha + 360^\circ \cdot n$ мы найдем эквивалентный угол $\beta$, который лежит в промежутке $(-180^\circ, 180^\circ]$. Абсолютная величина этого угла $|\beta|$ и будет наименьшей для данного набора.

а)

Для набора углов $30^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $30^\circ$ (при $n=0$) уже находится в промежутке $(-180^\circ, 180^\circ]$. Следовательно, это и есть угол с наименьшей абсолютной величиной в данном наборе. Его абсолютная величина равна $|30^\circ| = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

б)

Для набора углов $-120^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $-120^\circ$ (при $n=0$) уже находится в промежутке $(-180^\circ, 180^\circ]$. Это и есть искомый угол. Его абсолютная величина равна $|-120^\circ| = 120^\circ$.

Ответ: $-120^\circ$.

в)

Для набора углов $270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $270^\circ$ не входит в промежуток $(-180^\circ, 180^\circ]$. Найдем котерминальный ему угол, выбрав $n=-1$: $270^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 270^\circ - 360^\circ = -90^\circ$. Угол $-90^\circ$ принадлежит указанному промежутку. Его абсолютная величина $|-90^\circ| = 90^\circ$.

Ответ: $-90^\circ$.

г)

Для набора углов $-270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $-270^\circ$ не входит в промежуток $(-180^\circ, 180^\circ]$. Найдем котерминальный ему угол, выбрав $n=1$: $-270^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 90^\circ$. Угол $90^\circ$ принадлежит указанному промежутку. Его абсолютная величина $|90^\circ| = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

д)

Для набора углов $400^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $400^\circ$ не входит в промежуток $(-180^\circ, 180^\circ]$. Найдем котерминальный ему угол, выбрав $n=-1$: $400^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 400^\circ - 360^\circ = 40^\circ$. Угол $40^\circ$ принадлежит указанному промежутку. Его абсолютная величина $|40^\circ| = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

е)

Для набора углов $-700^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $-700^\circ$ не входит в промежуток $(-180^\circ, 180^\circ]$. Чтобы найти котерминальный угол в этом промежутке, нужно прибавить $360^\circ$ несколько раз. Выберем $n=2$: $-700^\circ + 360^\circ \cdot 2 = -700^\circ + 720^\circ = 20^\circ$. Угол $20^\circ$ принадлежит указанному промежутку. Его абсолютная величина $|20^\circ| = 20^\circ$.

Ответ: $20^\circ$.

Теперь, чтобы ответить на главный вопрос задачи, сравним абсолютные величины углов, найденных в каждом пункте:

• а) $|30^\circ| = 30^\circ$
• б) $|-120^\circ| = 120^\circ$
• в) $|-90^\circ| = 90^\circ$
• г) $|90^\circ| = 90^\circ$
• д) $|40^\circ| = 40^\circ$
• е) $|20^\circ| = 20^\circ$

Наименьшее значение среди них — $20^\circ$.

Следовательно, угол с наименьшей абсолютной величиной среди всех данных — это $20^\circ$.

7.13 Представьте следующие углы в виде $\alpha + 360^{\circ} \cdot n$, где $0^{\circ} \leq \alpha < 360^{\circ}$, $n$ – некоторое целое число:

а) $400^{\circ}$;

б) $-500^{\circ}$;

в) $600^{\circ}$;

г) $-900^{\circ}$.

а) Чтобы представить угол $400^\circ$ в виде $\alpha + 360^\circ \cdot n$, где $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$, необходимо найти остаток от деления $400$ на $360$.
$400 \div 360 = 1$ с остатком $40$.
Это означает, что мы можем записать $400^\circ$ как один полный оборот ($n=1$) и остаточный угол $\alpha=40^\circ$.
$400^\circ = 40^\circ + 360^\circ \cdot 1$.
Условия $0^\circ \le 40^\circ < 360^\circ$ и целочисленность $n$ выполняются.
Ответ: $40^\circ + 360^\circ \cdot 1$

б) Для отрицательного угла $-500^\circ$ необходимо прибавлять полные обороты ($360^\circ$) до тех пор, пока результат не окажется в диапазоне $[0^\circ, 360^\circ)$.
$-500^\circ + 1 \cdot 360^\circ = -140^\circ$ (не в диапазоне).
$-500^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -500^\circ + 720^\circ = 220^\circ$.
Полученный угол $\alpha = 220^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ \le 220^\circ < 360^\circ$.
Теперь, исходя из формулы $-500^\circ = \alpha + 360^\circ \cdot n$, найдем $n$:
$-500^\circ = 220^\circ + 360^\circ \cdot n$
$360^\circ \cdot n = -500^\circ - 220^\circ = -720^\circ$
$n = -720^\circ / 360^\circ = -2$.
Ответ: $220^\circ + 360^\circ \cdot (-2)$

в) Для угла $600^\circ$ найдем остаток от деления $600$ на $360$.
$600 \div 360 = 1$ с остатком $240$.
Это означает, что $600^\circ = 240^\circ + 1 \cdot 360^\circ$.
Здесь $\alpha = 240^\circ$ и $n = 1$. Условия выполняются.
Ответ: $240^\circ + 360^\circ \cdot 1$

г) Для отрицательного угла $-900^\circ$ прибавляем полные обороты, чтобы получить угол в диапазоне $[0^\circ, 360^\circ)$. Чтобы определить, сколько оборотов прибавить, можно разделить $900$ на $360$:
$900 \div 360 = 2.5$. Поскольку результат отрицательный, нам нужно прибавить целое число оборотов, большее чем $2.5$, то есть $3$ оборота.
$-900^\circ + 3 \cdot 360^\circ = -900^\circ + 1080^\circ = 180^\circ$.
Полученный угол $\alpha = 180^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ \le 180^\circ < 360^\circ$.
Найдем $n$ из уравнения $-900^\circ = 180^\circ + 360^\circ \cdot n$:
$360^\circ \cdot n = -900^\circ - 180^\circ = -1080^\circ$
$n = -1080^\circ / 360^\circ = -3$.
Ответ: $180^\circ + 360^\circ \cdot (-3)$

7.14 a) Постройте окружность радиуса 5 см с центром в начале системы координат. Точку её пересечения с положительной полуосью $Ox$ обозначьте $A_0$. Считая вектор $\vec{OA_0}$ начальным положением подвижного вектора, постройте вектор $\vec{OA_\alpha}$, где $\alpha$ — градусная мера угла поворота подвижного вектора. Выполните задание при $\alpha$, равном: $0^\circ$; $30^\circ$; $45^\circ$; $60^\circ$; $90^\circ$.

б) Постройте точки, симметричные каждой точке $A_\alpha$ относительно: оси $Ox$; оси $Oy$; начала системы координат. Определите углы поворота, при которых точка $A_\alpha$ переходит в построенные точки.

а)

1. В декартовой системе координат $Oxy$ построим окружность с центром в начале координат $O(0, 0)$ и радиусом $R=5$ см. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 5^2$.

2. Точка пересечения окружности с положительной полуосью $Ox$ является точкой $A_0$. Ее координаты $A_0(5, 0)$.

3. Вектор $\vec{OA_0}$ с координатами $(5, 0)$ является начальным положением подвижного вектора.

4. Вектор $\vec{OA_\alpha}$ получается поворотом вектора $\vec{OA_0}$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки. Координаты $(x_\alpha, y_\alpha)$ точки $A_\alpha$ определяются по формулам: $x_\alpha = R \cdot \cos\alpha$ и $y_\alpha = R \cdot \sin\alpha$. В нашем случае $R=5$.

Найдем координаты точек $A_\alpha$ и построим соответствующие векторы $\vec{OA_\alpha}$ для заданных значений угла $\alpha$:

• При $\alpha = 0^\circ$:
  $A_0(5 \cdot \cos0^\circ, 5 \cdot \sin0^\circ) = (5 \cdot 1, 5 \cdot 0) = (5, 0)$.
  Вектор $\vec{OA_0}$ совпадает с начальным положением.
• При $\alpha = 30^\circ$:
  $A_{30}(5 \cdot \cos30^\circ, 5 \cdot \sin30^\circ) = (5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 5 \cdot \frac{1}{2}) \approx (4.33, 2.5)$.
  Строим вектор $\vec{OA_{30}}$, отложив от положительной полуоси $Ox$ угол $30^\circ$.
• При $\alpha = 45^\circ$:
  $A_{45}(5 \cdot \cos45^\circ, 5 \cdot \sin45^\circ) = (5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \approx (3.54, 3.54)$.
  Строим вектор $\vec{OA_{45}}$, отложив от положительной полуоси $Ox$ угол $45^\circ$.
• При $\alpha = 60^\circ$:
  $A_{60}(5 \cdot \cos60^\circ, 5 \cdot \sin60^\circ) = (5 \cdot \frac{1}{2}, 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (2.5, \frac{5\sqrt{3}}{2}) \approx (2.5, 4.33)$.
  Строим вектор $\vec{OA_{60}}$, отложив от положительной полуоси $Ox$ угол $60^\circ$.
• При $\alpha = 90^\circ$:
  $A_{90}(5 \cdot \cos90^\circ, 5 \cdot \sin90^\circ) = (5 \cdot 0, 5 \cdot 1) = (0, 5)$.
  Вектор $\vec{OA_{90}}$ направлен вдоль положительной полуоси $Oy$.

Для построения используется циркуль для черчения окружности и транспортир для откладывания углов от положительного направления оси $Ox$.

Ответ: Построение выполняется в системе координат. Сначала чертится окружность радиусом 5 с центром в (0,0). Точка $A_0$ имеет координаты (5,0). Точки $A_\alpha$ находятся на этой окружности. Их положение определяется углом $\alpha$, отложенным от положительной полуоси $Ox$ против часовой стрелки. Координаты точек: $A_0(5,0)$, $A_{30}(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2})$, $A_{45}(\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2})$, $A_{60}(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2})$, $A_{90}(0,5)$. Векторы $\vec{OA_\alpha}$ — это радиус-векторы, соединяющие начало координат с этими точками на окружности.

б)

Пусть дана точка $A_\alpha$ с координатами $(5\cos\alpha, 5\sin\alpha)$, полученная поворотом точки $A_0(5,0)$ на угол $\alpha$. Найдем углы поворота, переводящие точку $A_\alpha$ в симметричные ей точки.

1. Симметрия относительно оси Ox:

Точка $A'_\alpha$, симметричная $A_\alpha$ относительно оси $Ox$, имеет координаты $(5\cos\alpha, -5\sin\alpha)$.
Эти координаты соответствуют повороту начальной точки $A_0$ на угол $-\alpha$ (или $360^\circ - \alpha$), так как $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ и $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$.
Чтобы точка $A_\alpha$ (соответствующая углу $\alpha$) перешла в точку $A'_\alpha$ (соответствующую углу $-\alpha$), нужно совершить поворот на угол $\Delta\alpha_1 = -\alpha - \alpha = -2\alpha$. В положительном направлении это будет угол $360^\circ - 2\alpha$.

2. Симметрия относительно оси Oy:

Точка $A''_\alpha$, симметричная $A_\alpha$ относительно оси $Oy$, имеет координаты $(-5\cos\alpha, 5\sin\alpha)$.
Эти координаты соответствуют повороту начальной точки $A_0$ на угол $180^\circ - \alpha$, так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.
Чтобы точка $A_\alpha$ (угол $\alpha$) перешла в точку $A''_\alpha$ (угол $180^\circ - \alpha$), нужно совершить поворот на угол $\Delta\alpha_2 = (180^\circ - \alpha) - \alpha = 180^\circ - 2\alpha$.

3. Симметрия относительно начала координат:

Точка $A'''_\alpha$, симметричная $A_\alpha$ относительно начала координат $O(0,0)$, имеет координаты $(-5\cos\alpha, -5\sin\alpha)$.
Эти координаты соответствуют повороту начальной точки $A_0$ на угол $180^\circ + \alpha$, так как $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$.
Чтобы точка $A_\alpha$ (угол $\alpha$) перешла в точку $A'''_\alpha$ (угол $180^\circ + \alpha$), нужно совершить поворот на угол $\Delta\alpha_3 = (180^\circ + \alpha) - \alpha = 180^\circ$.

Ответ: Чтобы точка $A_\alpha$ перешла в точку, симметричную ей:
• относительно оси $Ox$, необходим поворот на угол $-2\alpha$ (или $360^\circ - 2\alpha$);
• относительно оси $Oy$, необходим поворот на угол $180^\circ - 2\alpha$;
• относительно начала координат, необходим поворот на угол $180^\circ$.