Номер 7.14, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.1. Понятие угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.14, страница 200.

7.14 a) Постройте окружность радиуса 5 см с центром в начале системы координат. Точку её пересечения с положительной полуосью $Ox$ обозначьте $A_0$. Считая вектор $\vec{OA_0}$ начальным положением подвижного вектора, постройте вектор $\vec{OA_\alpha}$, где $\alpha$ — градусная мера угла поворота подвижного вектора. Выполните задание при $\alpha$, равном: $0^\circ$; $30^\circ$; $45^\circ$; $60^\circ$; $90^\circ$.

б) Постройте точки, симметричные каждой точке $A_\alpha$ относительно: оси $Ox$; оси $Oy$; начала системы координат. Определите углы поворота, при которых точка $A_\alpha$ переходит в построенные точки.

а)

1. В декартовой системе координат $Oxy$ построим окружность с центром в начале координат $O(0, 0)$ и радиусом $R=5$ см. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = 5^2$.

2. Точка пересечения окружности с положительной полуосью $Ox$ является точкой $A_0$. Ее координаты $A_0(5, 0)$.

3. Вектор $\vec{OA_0}$ с координатами $(5, 0)$ является начальным положением подвижного вектора.

4. Вектор $\vec{OA_\alpha}$ получается поворотом вектора $\vec{OA_0}$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки. Координаты $(x_\alpha, y_\alpha)$ точки $A_\alpha$ определяются по формулам: $x_\alpha = R \cdot \cos\alpha$ и $y_\alpha = R \cdot \sin\alpha$. В нашем случае $R=5$.

Найдем координаты точек $A_\alpha$ и построим соответствующие векторы $\vec{OA_\alpha}$ для заданных значений угла $\alpha$:

• При $\alpha = 0^\circ$:
  $A_0(5 \cdot \cos0^\circ, 5 \cdot \sin0^\circ) = (5 \cdot 1, 5 \cdot 0) = (5, 0)$.
  Вектор $\vec{OA_0}$ совпадает с начальным положением.
• При $\alpha = 30^\circ$:
  $A_{30}(5 \cdot \cos30^\circ, 5 \cdot \sin30^\circ) = (5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 5 \cdot \frac{1}{2}) \approx (4.33, 2.5)$.
  Строим вектор $\vec{OA_{30}}$, отложив от положительной полуоси $Ox$ угол $30^\circ$.
• При $\alpha = 45^\circ$:
  $A_{45}(5 \cdot \cos45^\circ, 5 \cdot \sin45^\circ) = (5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \approx (3.54, 3.54)$.
  Строим вектор $\vec{OA_{45}}$, отложив от положительной полуоси $Ox$ угол $45^\circ$.
• При $\alpha = 60^\circ$:
  $A_{60}(5 \cdot \cos60^\circ, 5 \cdot \sin60^\circ) = (5 \cdot \frac{1}{2}, 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (2.5, \frac{5\sqrt{3}}{2}) \approx (2.5, 4.33)$.
  Строим вектор $\vec{OA_{60}}$, отложив от положительной полуоси $Ox$ угол $60^\circ$.
• При $\alpha = 90^\circ$:
  $A_{90}(5 \cdot \cos90^\circ, 5 \cdot \sin90^\circ) = (5 \cdot 0, 5 \cdot 1) = (0, 5)$.
  Вектор $\vec{OA_{90}}$ направлен вдоль положительной полуоси $Oy$.

Для построения используется циркуль для черчения окружности и транспортир для откладывания углов от положительного направления оси $Ox$.

Ответ: Построение выполняется в системе координат. Сначала чертится окружность радиусом 5 с центром в (0,0). Точка $A_0$ имеет координаты (5,0). Точки $A_\alpha$ находятся на этой окружности. Их положение определяется углом $\alpha$, отложенным от положительной полуоси $Ox$ против часовой стрелки. Координаты точек: $A_0(5,0)$, $A_{30}(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2})$, $A_{45}(\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2})$, $A_{60}(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2})$, $A_{90}(0,5)$. Векторы $\vec{OA_\alpha}$ — это радиус-векторы, соединяющие начало координат с этими точками на окружности.

б)

Пусть дана точка $A_\alpha$ с координатами $(5\cos\alpha, 5\sin\alpha)$, полученная поворотом точки $A_0(5,0)$ на угол $\alpha$. Найдем углы поворота, переводящие точку $A_\alpha$ в симметричные ей точки.

1. Симметрия относительно оси Ox:

Точка $A'_\alpha$, симметричная $A_\alpha$ относительно оси $Ox$, имеет координаты $(5\cos\alpha, -5\sin\alpha)$.
Эти координаты соответствуют повороту начальной точки $A_0$ на угол $-\alpha$ (или $360^\circ - \alpha$), так как $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ и $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$.
Чтобы точка $A_\alpha$ (соответствующая углу $\alpha$) перешла в точку $A'_\alpha$ (соответствующую углу $-\alpha$), нужно совершить поворот на угол $\Delta\alpha_1 = -\alpha - \alpha = -2\alpha$. В положительном направлении это будет угол $360^\circ - 2\alpha$.

2. Симметрия относительно оси Oy:

Точка $A''_\alpha$, симметричная $A_\alpha$ относительно оси $Oy$, имеет координаты $(-5\cos\alpha, 5\sin\alpha)$.
Эти координаты соответствуют повороту начальной точки $A_0$ на угол $180^\circ - \alpha$, так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.
Чтобы точка $A_\alpha$ (угол $\alpha$) перешла в точку $A''_\alpha$ (угол $180^\circ - \alpha$), нужно совершить поворот на угол $\Delta\alpha_2 = (180^\circ - \alpha) - \alpha = 180^\circ - 2\alpha$.

3. Симметрия относительно начала координат:

Точка $A'''_\alpha$, симметричная $A_\alpha$ относительно начала координат $O(0,0)$, имеет координаты $(-5\cos\alpha, -5\sin\alpha)$.
Эти координаты соответствуют повороту начальной точки $A_0$ на угол $180^\circ + \alpha$, так как $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$.
Чтобы точка $A_\alpha$ (угол $\alpha$) перешла в точку $A'''_\alpha$ (угол $180^\circ + \alpha$), нужно совершить поворот на угол $\Delta\alpha_3 = (180^\circ + \alpha) - \alpha = 180^\circ$.

Ответ: Чтобы точка $A_\alpha$ перешла в точку, симметричную ей:
• относительно оси $Ox$, необходим поворот на угол $-2\alpha$ (или $360^\circ - 2\alpha$);
• относительно оси $Oy$, необходим поворот на угол $180^\circ - 2\alpha$;
• относительно начала координат, необходим поворот на угол $180^\circ$.