Номер 7.12, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.1. Понятие угла - номер 7.12, страница 200.

Условие.

7.12 Среди данных углов:

а) $30^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

б) $-120^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

в) $270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

г) $-270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

д) $400^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$;

е) $-700^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$

найдите угол, абсолютная величина которого наименьшая.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Задача состоит в том, чтобы для каждого набора углов, заданного формулой, найти конкретный угол (путем выбора целочисленного значения $n$), который имеет наименьшую абсолютную величину. Иными словами, нужно найти угол, ближайший к $0^\circ$. Затем сравнить эти углы и выбрать наименьший по модулю из всех.

Для каждого случая $A = \alpha + 360^\circ \cdot n$ мы найдем эквивалентный угол $\beta$, который лежит в промежутке $(-180^\circ, 180^\circ]$. Абсолютная величина этого угла $|\beta|$ и будет наименьшей для данного набора.

а)

Для набора углов $30^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $30^\circ$ (при $n=0$) уже находится в промежутке $(-180^\circ, 180^\circ]$. Следовательно, это и есть угол с наименьшей абсолютной величиной в данном наборе. Его абсолютная величина равна $|30^\circ| = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

б)

Для набора углов $-120^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $-120^\circ$ (при $n=0$) уже находится в промежутке $(-180^\circ, 180^\circ]$. Это и есть искомый угол. Его абсолютная величина равна $|-120^\circ| = 120^\circ$.

Ответ: $-120^\circ$.

в)

Для набора углов $270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $270^\circ$ не входит в промежуток $(-180^\circ, 180^\circ]$. Найдем котерминальный ему угол, выбрав $n=-1$: $270^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 270^\circ - 360^\circ = -90^\circ$. Угол $-90^\circ$ принадлежит указанному промежутку. Его абсолютная величина $|-90^\circ| = 90^\circ$.

Ответ: $-90^\circ$.

г)

Для набора углов $-270^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $-270^\circ$ не входит в промежуток $(-180^\circ, 180^\circ]$. Найдем котерминальный ему угол, выбрав $n=1$: $-270^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 90^\circ$. Угол $90^\circ$ принадлежит указанному промежутку. Его абсолютная величина $|90^\circ| = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

д)

Для набора углов $400^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $400^\circ$ не входит в промежуток $(-180^\circ, 180^\circ]$. Найдем котерминальный ему угол, выбрав $n=-1$: $400^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 400^\circ - 360^\circ = 40^\circ$. Угол $40^\circ$ принадлежит указанному промежутку. Его абсолютная величина $|40^\circ| = 40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

е)

Для набора углов $-700^\circ + 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Угол $-700^\circ$ не входит в промежуток $(-180^\circ, 180^\circ]$. Чтобы найти котерминальный угол в этом промежутке, нужно прибавить $360^\circ$ несколько раз. Выберем $n=2$: $-700^\circ + 360^\circ \cdot 2 = -700^\circ + 720^\circ = 20^\circ$. Угол $20^\circ$ принадлежит указанному промежутку. Его абсолютная величина $|20^\circ| = 20^\circ$.

Ответ: $20^\circ$.

---

Теперь, чтобы ответить на главный вопрос задачи, сравним абсолютные величины углов, найденных в каждом пункте:

• а) $|30^\circ| = 30^\circ$
• б) $|-120^\circ| = 120^\circ$
• в) $|-90^\circ| = 90^\circ$
• г) $|90^\circ| = 90^\circ$
• д) $|40^\circ| = 40^\circ$
• е) $|20^\circ| = 20^\circ$

Наименьшее значение среди них — $20^\circ$.

Следовательно, угол с наименьшей абсолютной величиной среди всех данных — это $20^\circ$.