Номер 7.11, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 7. Синус и косинус угла. 7.1. Понятие угла - номер 7.11, страница 200.

Условие.

7.11 Постройте без помощи транспортира на координатной плоскости углы:

а) $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$, $360^\circ$;

б) $45^\circ$, $135^\circ$, $225^\circ$, $315^\circ$;

в) $60^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$, $300^\circ$;

г) $30^\circ$, $150^\circ$, $210^\circ$, $330^\circ$;

д) $-45^\circ$, $-90^\circ$, $-135^\circ$, $-180^\circ$;

е) $-60^\circ$, $-120^\circ$, $-240^\circ$, $-300^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для построения угла на координатной плоскости без помощи транспортира мы определяем положение его второй (подвижной) стороны относительно положительного направления оси $Ox$, которое принимается за первую (начальную) сторону угла. Положительные углы откладываются против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. Построение сводится к нахождению координат любой точки, лежащей на второй стороне угла, и проведению луча из начала координат через эту точку.

а) 90°, 180°, 270°, 360°

Это так называемые "четвертные" или "осевые" углы, их вторые стороны совпадают с координатными осями.

• Угол 90°: Поворот на 90° против часовой стрелки от положительного направления оси $Ox$ совмещает вторую сторону угла с положительным направлением оси $Oy$. Для построения достаточно провести луч из начала координат вдоль положительной части оси $Oy$. Точка на луче, например, $(0, 1)$.
• Угол 180°: Вторая сторона угла совпадает с отрицательным направлением оси $Ox$. Проводим луч из начала координат вдоль отрицательной части оси $Ox$. Точка на луче, например, $(-1, 0)$.
• Угол 270°: Вторая сторона угла совпадает с отрицательным направлением оси $Oy$. Проводим луч из начала координат вдоль отрицательной части оси $Oy$. Точка на луче, например, $(0, -1)$.
• Угол 360°: Полный оборот. Вторая сторона угла совпадает с его начальной стороной, то есть с положительным направлением оси $Ox$. Точка на луче, например, $(1, 0)$.

Ответ: Для построения данных углов нужно провести лучи из начала координат вдоль положительного направления оси $Oy$ (90°), отрицательного направления оси $Ox$ (180°), отрицательного направления оси $Oy$ (270°) и положительного направления оси $Ox$ (360°).

б) 45°, 135°, 225°, 315°

Эти углы являются биссектрисами координатных четвертей. Их вторые стороны лежат на прямых $y=x$ и $y=-x$.

• Угол 45°: Это биссектриса I координатной четверти. Вторая сторона угла лежит на прямой $y=x$. Для построения достаточно выбрать любую точку на этой прямой в первой четверти, например, $(1, 1)$, и провести через нее луч из начала координат.
• Угол 135° (90°+45°): Это биссектриса II координатной четверти. Вторая сторона угла лежит на прямой $y=-x$. Выбираем точку во второй четверти, например, $(-1, 1)$, и проводим через нее луч.
• Угол 225° (180°+45°): Это биссектриса III координатной четверти. Вторая сторона угла лежит на прямой $y=x$. Выбираем точку в третьей четверти, например, $(-1, -1)$, и проводим через нее луч.
• Угол 315° (270°+45°): Это биссектриса IV координатной четверти. Вторая сторона угла лежит на прямой $y=-x$. Выбираем точку в четвертой четверти, например, $(1, -1)$, и проводим через нее луч.

Ответ: Для построения углов 45° и 225° нужно провести лучи из начала координат через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$ соответственно (вдоль прямой $y=x$). Для углов 135° и 315° нужно провести лучи через точки $(-1, 1)$ и $(1, -1)$ соответственно (вдоль прямой $y=-x$).

в) 60°, 120°, 240°, 300°

Эти углы строятся с помощью точек, координаты которых связаны с равносторонним треугольником (углы 60°). Координаты точек на единичной окружности для угла $\alpha$ равны $(\cos \alpha, \sin \alpha)$.

• Угол 60°: Координаты точки: $(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Для простоты построения можно взять точку с пропорциональными координатами, например, $(1, \sqrt{3})$.
• Угол 120° (180°-60°): Точка симметрична точке для 60° относительно оси $Oy$. Координаты: $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ или для простоты $(-1, \sqrt{3})$.
• Угол 240° (180°+60°): Точка симметрична точке для 60° относительно начала координат. Координаты: $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ или для простоты $(-1, -\sqrt{3})$.
• Угол 300° (360°-60°): Точка симметрична точке для 60° относительно оси $Ox$. Координаты: $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ или для простоты $(1, -\sqrt{3})$.

Ответ: Для построения данных углов нужно провести лучи из начала координат через точки $(1, \sqrt{3})$ для 60°, $(-1, \sqrt{3})$ для 120°, $(-1, -\sqrt{3})$ для 240° и $(1, -\sqrt{3})$ для 300°.

г) 30°, 150°, 210°, 330°

Эти углы также строятся с помощью характерных точек прямоугольного треугольника с углами 30° и 60°.

• Угол 30°: Координаты точки: $(\cos 30^\circ, \sin 30^\circ) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$. Для простоты построения можно взять точку $(\sqrt{3}, 1)$.
• Угол 150° (180°-30°): Точка симметрична точке для 30° относительно оси $Oy$. Координаты: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ или для простоты $(-\sqrt{3}, 1)$.
• Угол 210° (180°+30°): Точка симметрична точке для 30° относительно начала координат. Координаты: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ или для простоты $(-\sqrt{3}, -1)$.
• Угол 330° (360°-30°): Точка симметрична точке для 30° относительно оси $Ox$. Координаты: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ или для простоты $(\sqrt{3}, -1)$.

Ответ: Для построения данных углов нужно провести лучи из начала координат через точки $(\sqrt{3}, 1)$ для 30°, $(-\sqrt{3}, 1)$ для 150°, $(-\sqrt{3}, -1)$ для 210° и $(\sqrt{3}, -1)$ для 330°.

д) -45°, -90°, -135°, -180°

Отрицательные углы откладываются по часовой стрелке от положительного направления оси $Ox$.

• Угол -45°: Совпадает с углом $360^\circ - 45^\circ = 315^\circ$. Вторая сторона является биссектрисой IV четверти. Точка: $(1, -1)$.
• Угол -90°: Совпадает с углом $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$. Вторая сторона совпадает с отрицательным направлением оси $Oy$. Точка: $(0, -1)$.
• Угол -135°: Совпадает с углом $360^\circ - 135^\circ = 225^\circ$. Вторая сторона является биссектрисой III четверти. Точка: $(-1, -1)$.
• Угол -180°: Совпадает с углом $180^\circ$. Вторая сторона совпадает с отрицательным направлением оси $Ox$. Точка: $(-1, 0)$.

Ответ: Углы строятся аналогично их положительным эквивалентам: -45° как 315°, -90° как 270°, -135° как 225°, -180° как 180°.

е) -60°, -120°, -240°, -300°

Углы откладываются по часовой стрелке.

• Угол -60°: Совпадает с углом $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$. Точка: $(1, -\sqrt{3})$.
• Угол -120°: Совпадает с углом $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$. Точка: $(-1, -\sqrt{3})$.
• Угол -240°: Совпадает с углом $360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$. Точка: $(-1, \sqrt{3})$.
• Угол -300°: Совпадает с углом $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$. Точка: $(1, \sqrt{3})$.

Ответ: Углы строятся аналогично их положительным эквивалентам: -60° как 300°, -120° как 240°, -240° как 120°, -300° как 60°.