Номер 7.13, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.1. Понятие угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.13, страница 200.

7.13 Представьте следующие углы в виде $\alpha + 360^{\circ} \cdot n$, где $0^{\circ} \leq \alpha < 360^{\circ}$, $n$ – некоторое целое число:

а) $400^{\circ}$;

б) $-500^{\circ}$;

в) $600^{\circ}$;

г) $-900^{\circ}$.

а) Чтобы представить угол $400^\circ$ в виде $\alpha + 360^\circ \cdot n$, где $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$, необходимо найти остаток от деления $400$ на $360$.
$400 \div 360 = 1$ с остатком $40$.
Это означает, что мы можем записать $400^\circ$ как один полный оборот ($n=1$) и остаточный угол $\alpha=40^\circ$.
$400^\circ = 40^\circ + 360^\circ \cdot 1$.
Условия $0^\circ \le 40^\circ < 360^\circ$ и целочисленность $n$ выполняются.
Ответ: $40^\circ + 360^\circ \cdot 1$

б) Для отрицательного угла $-500^\circ$ необходимо прибавлять полные обороты ($360^\circ$) до тех пор, пока результат не окажется в диапазоне $[0^\circ, 360^\circ)$.
$-500^\circ + 1 \cdot 360^\circ = -140^\circ$ (не в диапазоне).
$-500^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -500^\circ + 720^\circ = 220^\circ$.
Полученный угол $\alpha = 220^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ \le 220^\circ < 360^\circ$.
Теперь, исходя из формулы $-500^\circ = \alpha + 360^\circ \cdot n$, найдем $n$:
$-500^\circ = 220^\circ + 360^\circ \cdot n$
$360^\circ \cdot n = -500^\circ - 220^\circ = -720^\circ$
$n = -720^\circ / 360^\circ = -2$.
Ответ: $220^\circ + 360^\circ \cdot (-2)$

в) Для угла $600^\circ$ найдем остаток от деления $600$ на $360$.
$600 \div 360 = 1$ с остатком $240$.
Это означает, что $600^\circ = 240^\circ + 1 \cdot 360^\circ$.
Здесь $\alpha = 240^\circ$ и $n = 1$. Условия выполняются.
Ответ: $240^\circ + 360^\circ \cdot 1$

г) Для отрицательного угла $-900^\circ$ прибавляем полные обороты, чтобы получить угол в диапазоне $[0^\circ, 360^\circ)$. Чтобы определить, сколько оборотов прибавить, можно разделить $900$ на $360$:
$900 \div 360 = 2.5$. Поскольку результат отрицательный, нам нужно прибавить целое число оборотов, большее чем $2.5$, то есть $3$ оборота.
$-900^\circ + 3 \cdot 360^\circ = -900^\circ + 1080^\circ = 180^\circ$.
Полученный угол $\alpha = 180^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ \le 180^\circ < 360^\circ$.
Найдем $n$ из уравнения $-900^\circ = 180^\circ + 360^\circ \cdot n$:
$360^\circ \cdot n = -900^\circ - 180^\circ = -1080^\circ$
$n = -1080^\circ / 360^\circ = -3$.
Ответ: $180^\circ + 360^\circ \cdot (-3)$