Номер 7.6, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

7.1. Понятие угла. § 7. Синус и косинус угла. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 7.6, страница 199.

С помощью транспортира изобразите на координатной плоскости угол $AOB$, полученный поворотом подвижного вектора от вектора $\vec{OA}$ до вектора $\vec{OB}$, если градусная мера этого угла равна (7.6–7.7):

7.6

a) $60^\circ$; б) $120^\circ$; в) $200^\circ$; г) $245^\circ$;
д) $270^\circ$; е) $300^\circ$; ж) $380^\circ$; з) $420^\circ$.

Для решения задачи изобразим на координатной плоскости $xy$ начальный вектор $\overrightarrow{OA}$ так, чтобы его начало совпадало с началом координат $O(0,0)$, а конец, точка $A$, лежал на положительной полуоси $Ox$. Угол отсчитывается от вектора $\overrightarrow{OA}$ против часовой стрелки (положительное направление).

а) 60°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $60^\circ$ против часовой стрелки. Для этого помещаем центр транспортира в начало координат, а нулевую отметку совмещаем с лучом $OA$. Находим на шкале транспортира отметку $60^\circ$ и ставим точку $B$. Проводим вектор $\overrightarrow{OB}$. Так как $0^\circ < 60^\circ < 90^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в I координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в I четверти, образуя с положительным направлением оси $Ox$ угол $60^\circ$.

б) 120°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $120^\circ$ против часовой стрелки. Помещаем центр транспортира в точку $O$, совмещаем нулевую отметку с лучом $OA$. Находим на шкале отметку $120^\circ$ и ставим точку $B$. Проводим вектор $\overrightarrow{OB}$. Так как $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен во II координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен во II четверти, образуя с положительным направлением оси $Ox$ угол $120^\circ$.

в) 200°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $200^\circ$ против часовой стрелки. Стандартный транспортир имеет шкалу до $180^\circ$. Поворот на $180^\circ$ соответствует отрицательной полуоси $Ox$. Чтобы получить угол $200^\circ$, нужно от отрицательной полуоси $Ox$ отложить дополнительный угол $200^\circ - 180^\circ = 20^\circ$ против часовой стрелки. Так как $180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в III координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в III четверти. Он образует с отрицательным направлением оси $Ox$ угол $20^\circ$ (или $200^\circ$ с положительным направлением оси $Ox$).

г) 245°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $245^\circ$ против часовой стрелки. Для построения отложим от отрицательной полуоси $Ox$ (которая соответствует углу $180^\circ$) угол $245^\circ - 180^\circ = 65^\circ$ против часовой стрелки. Так как $180^\circ < 245^\circ < 270^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в III координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в III четверти. Он образует с отрицательным направлением оси $Ox$ угол $65^\circ$ (или $245^\circ$ с положительным направлением оси $Ox$).

д) 270°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $270^\circ$ против часовой стрелки. Этот угол является пограничным (квадрантным). Поворот на $270^\circ$ совмещает подвижный вектор с отрицательной полуосью $Oy$.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ совпадает с отрицательным направлением оси $Oy$.

е) 300°

Отложим от положительной полуоси $Ox$ угол $300^\circ$ против часовой стрелки. Так как $270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в IV координатной четверти. Для построения можно отложить от положительной полуоси $Ox$ угол $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$ по часовой стрелке.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в IV четверти, образуя с положительным направлением оси $Ox$ угол $300^\circ$ (или $-60^\circ$).

ж) 380°

Угол $380^\circ$ больше полного оборота ($360^\circ$). Чтобы найти положение вектора, вычтем полный оборот: $380^\circ - 360^\circ = 20^\circ$. Это означает, что вектор совершает один полный оборот и останавливается в том же положении, что и вектор, повернутый на $20^\circ$. Так как $0^\circ < 20^\circ < 90^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в I координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в I четверти, образуя с положительным направлением оси $Ox$ угол $20^\circ$.

з) 420°

Угол $420^\circ$ больше полного оборота. Вычтем $360^\circ$: $420^\circ - 360^\circ = 60^\circ$. Положение вектора $\overrightarrow{OB}$ будет таким же, как и при повороте на $60^\circ$. Так как $0^\circ < 60^\circ < 90^\circ$, вектор $\overrightarrow{OB}$ будет расположен в I координатной четверти.

Ответ: Вектор $\overrightarrow{OB}$ расположен в I четверти, образуя с положительным направлением оси $Ox$ угол $60^\circ$.