Номер 6.62, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.62, страница 187.

6.62 a) $4 \cdot 9^x - 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x > 0;$

б) $3 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x < 0;$

в) $15 \cdot 9^x + 16 \cdot 15^x - 15 \cdot 25^x \ge 0;$

г) $6 \cdot 4^x + 5 \cdot 6^x - 6 \cdot 9^x \le 0.$

а) $4 \cdot 9^x - 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x > 0$
Данное неравенство является однородным показательным неравенством. Запишем основания степеней через простые множители: $9=3^2$, $12=3 \cdot 4$, $16=4^2$.
$4 \cdot (3^2)^x - 7 \cdot (3 \cdot 4)^x + 3 \cdot (4^2)^x > 0$
$4 \cdot (3^x)^2 - 7 \cdot 3^x \cdot 4^x + 3 \cdot (4^x)^2 > 0$
Разделим обе части неравенства на $(4^x)^2 = 16^x$. Так как $16^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится.
$4 \cdot \frac{(3^x)^2}{(4^x)^2} - 7 \cdot \frac{3^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} + 3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(4^x)^2} > 0$
$4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 3 > 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{3}{4}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
$4t^2 - 7t + 3 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $4t^2 - 7t + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
$t_1 = \frac{7 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$; $t_2 = \frac{7 + 1}{8} = 1$.
Так как ветви параболы $y=4t^2 - 7t + 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $t < t_1$ или $t > t_2$.
Получаем совокупность неравенств:
$\left[ \begin{array}{l} t < \frac{3}{4} \\ t > 1 \end{array} \right.$
Возвращаемся к исходной переменной $x$:
1) $\left(\frac{3}{4}\right)^x < \frac{3}{4}$. Так как основание степени $\frac{3}{4} < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный: $x > 1$.
2) $\left(\frac{3}{4}\right)^x > 1$. Представим 1 как $\left(\frac{3}{4}\right)^0$. Получаем $\left(\frac{3}{4}\right)^x > \left(\frac{3}{4}\right)^0$. Так как основание $\frac{3}{4} < 1$, то $x < 0$.
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

б) $3 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x < 0$
Это однородное показательное неравенство. Запишем основания как степени чисел 2 и 3: $9=3^2$, $6=2 \cdot 3$, $4=2^2$.
$3 \cdot (3^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot (2^x)^2 < 0$
Разделим обе части на $(2^x)^2 = 4^x > 0$. Знак неравенства сохранится.
$3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 2 < 0$
Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$, где $t > 0$.
$3t^2 - 5t + 2 < 0$
Найдем корни уравнения $3t^2 - 5t + 2 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$t_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$; $t_2 = \frac{5 + 1}{6} = 1$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{2}{3} < t < 1$.
Возвращаемся к $x$:
$\frac{2}{3} < \left(\frac{3}{2}\right)^x < 1$
$\left(\frac{3}{2}\right)^{-1} < \left(\frac{3}{2}\right)^x < \left(\frac{3}{2}\right)^0$
Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, функция возрастающая, поэтому для показателей знак неравенства сохраняется:
$-1 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-1; 0)$.

в) $15 \cdot 9^x + 16 \cdot 15^x - 15 \cdot 25^x \ge 0$
Это однородное показательное неравенство. Основания: $9=3^2$, $15=3 \cdot 5$, $25=5^2$.
$15 \cdot (3^x)^2 + 16 \cdot 3^x \cdot 5^x - 15 \cdot (5^x)^2 \ge 0$
Разделим обе части на $(5^x)^2 = 25^x > 0$.
$15 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{2x} + 16 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x - 15 \ge 0$
Пусть $t = \left(\frac{3}{5}\right)^x$, где $t > 0$.
$15t^2 + 16t - 15 \ge 0$
Найдем корни уравнения $15t^2 + 16t - 15 = 0$.
$D = 16^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$.
$t_1 = \frac{-16 - 34}{30} = \frac{-50}{30} = -\frac{5}{3}$; $t_2 = \frac{-16 + 34}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le t_1$ или $t \ge t_2$.
$\left[ \begin{array}{l} t \le -\frac{5}{3} \\ t \ge \frac{3}{5} \end{array} \right.$
Так как $t = \left(\frac{3}{5}\right)^x > 0$, первое неравенство $t \le -\frac{5}{3}$ не имеет решений.
Остается решить второе неравенство: $t \ge \frac{3}{5}$.
$\left(\frac{3}{5}\right)^x \ge \frac{3}{5}$
$\left(\frac{3}{5}\right)^x \ge \left(\frac{3}{5}\right)^1$
Так как основание степени $\frac{3}{5} < 1$, функция убывающая, знак неравенства для показателей меняется:
$x \le 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

г) $6 \cdot 4^x + 5 \cdot 6^x - 6 \cdot 9^x \le 0$
Это однородное показательное неравенство. Основания: $4=2^2$, $6=2 \cdot 3$, $9=3^2$.
$6 \cdot (2^x)^2 + 5 \cdot 2^x \cdot 3^x - 6 \cdot (3^x)^2 \le 0$
Разделим обе части на $(3^x)^2 = 9^x > 0$.
$6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 \le 0$
Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, где $t > 0$.
$6t^2 + 5t - 6 \le 0$
Найдем корни уравнения $6t^2 + 5t - 6 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
$t_1 = \frac{-5 - 13}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$; $t_2 = \frac{-5 + 13}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-\frac{3}{2} \le t \le \frac{2}{3}$.
Учитывая, что $t > 0$, получаем двойное неравенство: $0 < t \le \frac{2}{3}$.
Возвращаемся к $x$:
$0 < \left(\frac{2}{3}\right)^x \le \frac{2}{3}$
Неравенство $\left(\frac{2}{3}\right)^x > 0$ выполняется для всех $x$. Решим правую часть:
$\left(\frac{2}{3}\right)^x \le \left(\frac{2}{3}\right)^1$
Так как основание степени $\frac{2}{3} < 1$, функция убывающая, знак неравенства для показателей меняется:
$x \ge 1$.
Ответ: $x \in [1; +\infty)$.