Страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.60 a) $\lg^2 x - \lg x - 2 > 0;$

B) $\lg^2 x - \lg x - 6 \ge 0;$

б) $\lg^2 x + \lg x - 2 < 0;$

Г) $\lg^2 x + \lg x - 6 \le 0.$

а) $\lg^2 x - \lg x - 2 > 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \lg x$. Тогда неравенство принимает вид квадратного неравенства:
$t^2 - t - 2 > 0$

3. Решим квадратное неравенство.
Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Парабола $y = t^2 - t - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями.
$t < -1$ или $t > 2$.

4. Вернемся к исходной переменной.
Получаем совокупность двух неравенств:
$\left[ \begin{aligned} \lg x < -1 \\ \lg x > 2 \end{aligned} \right.$

5. Решим логарифмические неравенства.
Из первого неравенства: $\lg x < \lg(10^{-1}) \implies \lg x < \lg(0.1)$. Так как основание логарифма $10 > 1$, получаем $x < 0.1$.
Из второго неравенства: $\lg x > \lg(10^2) \implies \lg x > \lg(100)$. Получаем $x > 100$.

6. Учтем ОДЗ.
Объединим полученные решения с условием $x > 0$:
- Из $x < 0.1$ и $x > 0$ следует $0 < x < 0.1$.
- Условие $x > 100$ уже удовлетворяет ОДЗ.
Итоговое решение: $x \in (0; 0.1) \cup (100; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; 0.1) \cup (100; +\infty)$

б) $\lg^2 x + \lg x - 2 < 0$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Замена переменной:
Пусть $t = \lg x$. Неравенство становится: $t^2 + t - 2 < 0$.

3. Решение квадратного неравенства:
Корни уравнения $t^2 + t - 2 = 0$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Парабола $y = t^2 + t - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями: $-2 < t < 1$.

4. Обратная замена:
$-2 < \lg x < 1$.

5. Решение логарифмического неравенства:
$\lg(10^{-2}) < \lg x < \lg(10^1)$
$0.01 < x < 10$.

6. Учет ОДЗ:
Полученный интервал $(0.01; 10)$ полностью удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: $x \in (0.01; 10)$

в) $\lg^2 x - \lg x - 6 \ge 0$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Замена переменной:
Пусть $t = \lg x$. Неравенство становится: $t^2 - t - 6 \ge 0$.

3. Решение квадратного неравенства:
Корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$ равны $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Парабола $y = t^2 - t - 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y \ge 0$ выполняется при $t \le -2$ или $t \ge 3$.

4. Обратная замена:
$\left[ \begin{aligned} \lg x \le -2 \\ \lg x \ge 3 \end{aligned} \right.$

5. Решение логарифмических неравенств:
- $\lg x \le -2 \implies \lg x \le \lg(10^{-2}) \implies x \le 0.01$.
- $\lg x \ge 3 \implies \lg x \ge \lg(10^3) \implies x \ge 1000$.

6. Учет ОДЗ:
- Из $x \le 0.01$ и $x > 0$ следует $0 < x \le 0.01$.
- Условие $x \ge 1000$ уже удовлетворяет ОДЗ.
Итоговое решение: $x \in (0; 0.01] \cup [1000; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; 0.01] \cup [1000; +\infty)$

г) $\lg^2 x + \lg x - 6 \le 0$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Замена переменной:
Пусть $t = \lg x$. Неравенство становится: $t^2 + t - 6 \le 0$.

3. Решение квадратного неравенства:
Корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$ равны $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.
Парабола $y = t^2 + t - 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется при $-3 \le t \le 2$.

4. Обратная замена:
$-3 \le \lg x \le 2$.

5. Решение логарифмического неравенства:
$\lg(10^{-3}) \le \lg x \le \lg(10^2)$
$0.001 \le x \le 100$.

6. Учет ОДЗ:
Полученный отрезок $[0.001; 100]$ полностью удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: $x \in [0.001; 100]$

6.61 a) $\frac{2}{\lg x - \lg 0,1} - \frac{1}{\lg x} > 0;$

б) $\frac{3}{\lg x + \lg 0,01} - \frac{1}{\lg x} \leq 0;$

в) $\lg x + \frac{3}{\lg x + \lg 0,01} \geq -2;$

г) $\lg x + \frac{12}{\lg x - \lg 0,01} \leq 5.$

а)

Исходное неравенство: $ \frac{2}{\lg x - \lg 0,1} - \frac{1}{\lg x} > 0 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$. Знаменатели не должны равняться нулю:$ \lg x \neq 0 \implies x \neq 1 $.$ \lg x - \lg 0,1 \neq 0 $. Учитывая, что $ \lg 0,1 = \lg 10^{-1} = -1 $, получаем $ \lg x - (-1) \neq 0 \implies \lg x \neq -1 \implies x \neq 10^{-1} = 0,1 $.ОДЗ: $ x \in (0; 0,1) \cup (0,1; 1) \cup (1; \infty) $.

2. Упростим неравенство, подставив значение $ \lg 0,1 = -1 $:$ \frac{2}{\lg x + 1} - \frac{1}{\lg x} > 0 $

3. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \lg x $. Неравенство примет вид:$ \frac{2}{t + 1} - \frac{1}{t} > 0 $

4. Приведем к общему знаменателю и решим полученное рациональное неравенство:$ \frac{2t - (t+1)}{t(t+1)} > 0 $$ \frac{2t - t - 1}{t(t+1)} > 0 $$ \frac{t-1}{t(t+1)} > 0 $Методом интервалов находим нули числителя ($t=1$) и знаменателя ($t=0, t=-1$). Наносим эти точки на числовую ось и определяем знаки на интервалах.Решением для $t$ является объединение интервалов: $ t \in (-1; 0) \cup (1; \infty) $.

5. Выполним обратную замену:a) $ -1 < \lg x < 0 \implies 10^{-1} < x < 10^0 \implies 0,1 < x < 1 $.б) $ \lg x > 1 \implies x > 10^1 \implies x > 10 $.Полученные интервалы входят в ОДЗ.

Ответ: $ x \in (0,1; 1) \cup (10; \infty) $.

б)

Исходное неравенство: $ \frac{3}{\lg x + \lg 0,01} - \frac{1}{\lg x} \le 0 $

1. ОДЗ: $x > 0$, $ \lg x \neq 0 \implies x \neq 1 $.$ \lg x + \lg 0,01 \neq 0 $. Учитывая, что $ \lg 0,01 = \lg 10^{-2} = -2 $, получаем $ \lg x - 2 \neq 0 \implies \lg x \neq 2 \implies x \neq 10^2 = 100 $.ОДЗ: $ x \in (0; 1) \cup (1; 100) \cup (100; \infty) $.

2. Упростим неравенство:$ \frac{3}{\lg x - 2} - \frac{1}{\lg x} \le 0 $

3. Сделаем замену $ t = \lg x $:$ \frac{3}{t - 2} - \frac{1}{t} \le 0 $

4. Решим рациональное неравенство:$ \frac{3t - (t-2)}{t(t-2)} \le 0 $$ \frac{2t + 2}{t(t-2)} \le 0 $$ \frac{2(t+1)}{t(t-2)} \le 0 $Нуль числителя: $t = -1$. Нули знаменателя: $t=0, t=2$.Методом интервалов находим решение для $t$: $ t \in (-\infty; -1] \cup (0; 2) $.

5. Выполним обратную замену:a) $ \lg x \le -1 \implies x \le 10^{-1} \implies x \le 0,1 $. С учетом ОДЗ ($x>0$) получаем $ 0 < x \le 0,1 $.б) $ 0 < \lg x < 2 \implies 10^0 < x < 10^2 \implies 1 < x < 100 $.Данные решения соответствуют ОДЗ.

Ответ: $ x \in (0; 0,1] \cup (1; 100) $.

в)

Исходное неравенство: $ \lg x + \frac{3}{\lg x + \lg 0,01} \ge -2 $

1. ОДЗ: $x > 0$.$ \lg x + \lg 0,01 \neq 0 $. Так как $ \lg 0,01 = -2 $, то $ \lg x - 2 \neq 0 \implies \lg x \neq 2 \implies x \neq 100 $.ОДЗ: $ x \in (0; 100) \cup (100; \infty) $.

2. Перенесем все в левую часть и упростим:$ \lg x + 2 + \frac{3}{\lg x - 2} \ge 0 $

3. Сделаем замену $ t = \lg x $:$ t + 2 + \frac{3}{t - 2} \ge 0 $

4. Решим рациональное неравенство:$ \frac{(t+2)(t-2) + 3}{t - 2} \ge 0 $$ \frac{t^2 - 4 + 3}{t - 2} \ge 0 $$ \frac{t^2 - 1}{t - 2} \ge 0 $$ \frac{(t-1)(t+1)}{t - 2} \ge 0 $Нули числителя: $t = 1, t = -1$. Нуль знаменателя: $t=2$.Методом интервалов находим решение для $t$: $ t \in [-1; 1] \cup (2; \infty) $.

5. Выполним обратную замену:a) $ -1 \le \lg x \le 1 \implies 10^{-1} \le x \le 10^1 \implies 0,1 \le x \le 10 $.б) $ \lg x > 2 \implies x > 10^2 \implies x > 100 $.Решения входят в ОДЗ.

Ответ: $ x \in [0,1; 10] \cup (100; \infty) $.

г)

Исходное неравенство: $ \lg x + \frac{12}{\lg x - \lg 0,01} \le 5 $

1. ОДЗ: $x > 0$.$ \lg x - \lg 0,01 \neq 0 $. Так как $ \lg 0,01 = -2 $, то $ \lg x - (-2) \neq 0 \implies \lg x \neq -2 \implies x \neq 10^{-2} = 0,01 $.ОДЗ: $ x \in (0; 0,01) \cup (0,01; \infty) $.

2. Перенесем все в левую часть и упростим, используя $ \lg 0,01 = -2 $:$ \lg x + \frac{12}{\lg x + 2} - 5 \le 0 $

3. Сделаем замену $ t = \lg x $:$ t - 5 + \frac{12}{t + 2} \le 0 $

4. Решим рациональное неравенство:$ \frac{(t-5)(t+2) + 12}{t + 2} \le 0 $$ \frac{t^2 + 2t - 5t - 10 + 12}{t + 2} \le 0 $$ \frac{t^2 - 3t + 2}{t + 2} \le 0 $$ \frac{(t-1)(t-2)}{t + 2} \le 0 $Нули числителя: $t = 1, t = 2$. Нуль знаменателя: $t=-2$.Методом интервалов находим решение для $t$: $ t \in (-\infty; -2) \cup [1; 2] $.

5. Выполним обратную замену:a) $ \lg x < -2 \implies x < 10^{-2} \implies x < 0,01 $. С учетом ОДЗ ($x>0$) получаем $ 0 < x < 0,01 $.б) $ 1 \le \lg x \le 2 \implies 10^1 \le x \le 10^2 \implies 10 \le x \le 100 $.Решения соответствуют ОДЗ.

Ответ: $ x \in (0; 0,01) \cup [10; 100] $.

6.62 a) $4 \cdot 9^x - 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x > 0;$

б) $3 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x < 0;$

в) $15 \cdot 9^x + 16 \cdot 15^x - 15 \cdot 25^x \ge 0;$

г) $6 \cdot 4^x + 5 \cdot 6^x - 6 \cdot 9^x \le 0.$

а) $4 \cdot 9^x - 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x > 0$
Данное неравенство является однородным показательным неравенством. Запишем основания степеней через простые множители: $9=3^2$, $12=3 \cdot 4$, $16=4^2$.
$4 \cdot (3^2)^x - 7 \cdot (3 \cdot 4)^x + 3 \cdot (4^2)^x > 0$
$4 \cdot (3^x)^2 - 7 \cdot 3^x \cdot 4^x + 3 \cdot (4^x)^2 > 0$
Разделим обе части неравенства на $(4^x)^2 = 16^x$. Так как $16^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится.
$4 \cdot \frac{(3^x)^2}{(4^x)^2} - 7 \cdot \frac{3^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} + 3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(4^x)^2} > 0$
$4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 3 > 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{3}{4}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
$4t^2 - 7t + 3 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $4t^2 - 7t + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
$t_1 = \frac{7 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$; $t_2 = \frac{7 + 1}{8} = 1$.
Так как ветви параболы $y=4t^2 - 7t + 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $t < t_1$ или $t > t_2$.
Получаем совокупность неравенств:
$\left[ \begin{array}{l} t < \frac{3}{4} \\ t > 1 \end{array} \right.$
Возвращаемся к исходной переменной $x$:
1) $\left(\frac{3}{4}\right)^x < \frac{3}{4}$. Так как основание степени $\frac{3}{4} < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный: $x > 1$.
2) $\left(\frac{3}{4}\right)^x > 1$. Представим 1 как $\left(\frac{3}{4}\right)^0$. Получаем $\left(\frac{3}{4}\right)^x > \left(\frac{3}{4}\right)^0$. Так как основание $\frac{3}{4} < 1$, то $x < 0$.
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

б) $3 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x < 0$
Это однородное показательное неравенство. Запишем основания как степени чисел 2 и 3: $9=3^2$, $6=2 \cdot 3$, $4=2^2$.
$3 \cdot (3^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot (2^x)^2 < 0$
Разделим обе части на $(2^x)^2 = 4^x > 0$. Знак неравенства сохранится.
$3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 2 < 0$
Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$, где $t > 0$.
$3t^2 - 5t + 2 < 0$
Найдем корни уравнения $3t^2 - 5t + 2 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$t_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$; $t_2 = \frac{5 + 1}{6} = 1$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{2}{3} < t < 1$.
Возвращаемся к $x$:
$\frac{2}{3} < \left(\frac{3}{2}\right)^x < 1$
$\left(\frac{3}{2}\right)^{-1} < \left(\frac{3}{2}\right)^x < \left(\frac{3}{2}\right)^0$
Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, функция возрастающая, поэтому для показателей знак неравенства сохраняется:
$-1 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-1; 0)$.

в) $15 \cdot 9^x + 16 \cdot 15^x - 15 \cdot 25^x \ge 0$
Это однородное показательное неравенство. Основания: $9=3^2$, $15=3 \cdot 5$, $25=5^2$.
$15 \cdot (3^x)^2 + 16 \cdot 3^x \cdot 5^x - 15 \cdot (5^x)^2 \ge 0$
Разделим обе части на $(5^x)^2 = 25^x > 0$.
$15 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{2x} + 16 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x - 15 \ge 0$
Пусть $t = \left(\frac{3}{5}\right)^x$, где $t > 0$.
$15t^2 + 16t - 15 \ge 0$
Найдем корни уравнения $15t^2 + 16t - 15 = 0$.
$D = 16^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$.
$t_1 = \frac{-16 - 34}{30} = \frac{-50}{30} = -\frac{5}{3}$; $t_2 = \frac{-16 + 34}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le t_1$ или $t \ge t_2$.
$\left[ \begin{array}{l} t \le -\frac{5}{3} \\ t \ge \frac{3}{5} \end{array} \right.$
Так как $t = \left(\frac{3}{5}\right)^x > 0$, первое неравенство $t \le -\frac{5}{3}$ не имеет решений.
Остается решить второе неравенство: $t \ge \frac{3}{5}$.
$\left(\frac{3}{5}\right)^x \ge \frac{3}{5}$
$\left(\frac{3}{5}\right)^x \ge \left(\frac{3}{5}\right)^1$
Так как основание степени $\frac{3}{5} < 1$, функция убывающая, знак неравенства для показателей меняется:
$x \le 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

г) $6 \cdot 4^x + 5 \cdot 6^x - 6 \cdot 9^x \le 0$
Это однородное показательное неравенство. Основания: $4=2^2$, $6=2 \cdot 3$, $9=3^2$.
$6 \cdot (2^x)^2 + 5 \cdot 2^x \cdot 3^x - 6 \cdot (3^x)^2 \le 0$
Разделим обе части на $(3^x)^2 = 9^x > 0$.
$6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x - 6 \le 0$
Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, где $t > 0$.
$6t^2 + 5t - 6 \le 0$
Найдем корни уравнения $6t^2 + 5t - 6 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
$t_1 = \frac{-5 - 13}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$; $t_2 = \frac{-5 + 13}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-\frac{3}{2} \le t \le \frac{2}{3}$.
Учитывая, что $t > 0$, получаем двойное неравенство: $0 < t \le \frac{2}{3}$.
Возвращаемся к $x$:
$0 < \left(\frac{2}{3}\right)^x \le \frac{2}{3}$
Неравенство $\left(\frac{2}{3}\right)^x > 0$ выполняется для всех $x$. Решим правую часть:
$\left(\frac{2}{3}\right)^x \le \left(\frac{2}{3}\right)^1$
Так как основание степени $\frac{2}{3} < 1$, функция убывающая, знак неравенства для показателей меняется:
$x \ge 1$.
Ответ: $x \in [1; +\infty)$.