Номер 6.60, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного - номер 6.60, страница 187.

Условие.

6.60 a) $\lg^2 x - \lg x - 2 > 0;$

B) $\lg^2 x - \lg x - 6 \ge 0;$

б) $\lg^2 x + \lg x - 2 < 0;$

Г) $\lg^2 x + \lg x - 6 \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\lg^2 x - \lg x - 2 > 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \lg x$. Тогда неравенство принимает вид квадратного неравенства:
$t^2 - t - 2 > 0$

3. Решим квадратное неравенство.
Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Парабола $y = t^2 - t - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями.
$t < -1$ или $t > 2$.

4. Вернемся к исходной переменной.
Получаем совокупность двух неравенств:
$\left[ \begin{aligned} \lg x < -1 \\ \lg x > 2 \end{aligned} \right.$

5. Решим логарифмические неравенства.
Из первого неравенства: $\lg x < \lg(10^{-1}) \implies \lg x < \lg(0.1)$. Так как основание логарифма $10 > 1$, получаем $x < 0.1$.
Из второго неравенства: $\lg x > \lg(10^2) \implies \lg x > \lg(100)$. Получаем $x > 100$.

6. Учтем ОДЗ.
Объединим полученные решения с условием $x > 0$:
- Из $x < 0.1$ и $x > 0$ следует $0 < x < 0.1$.
- Условие $x > 100$ уже удовлетворяет ОДЗ.
Итоговое решение: $x \in (0; 0.1) \cup (100; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; 0.1) \cup (100; +\infty)$

б) $\lg^2 x + \lg x - 2 < 0$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Замена переменной:
Пусть $t = \lg x$. Неравенство становится: $t^2 + t - 2 < 0$.

3. Решение квадратного неравенства:
Корни уравнения $t^2 + t - 2 = 0$ равны $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Парабола $y = t^2 + t - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями: $-2 < t < 1$.

4. Обратная замена:
$-2 < \lg x < 1$.

5. Решение логарифмического неравенства:
$\lg(10^{-2}) < \lg x < \lg(10^1)$
$0.01 < x < 10$.

6. Учет ОДЗ:
Полученный интервал $(0.01; 10)$ полностью удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: $x \in (0.01; 10)$

в) $\lg^2 x - \lg x - 6 \ge 0$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Замена переменной:
Пусть $t = \lg x$. Неравенство становится: $t^2 - t - 6 \ge 0$.

3. Решение квадратного неравенства:
Корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$ равны $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Парабола $y = t^2 - t - 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y \ge 0$ выполняется при $t \le -2$ или $t \ge 3$.

4. Обратная замена:
$\left[ \begin{aligned} \lg x \le -2 \\ \lg x \ge 3 \end{aligned} \right.$

5. Решение логарифмических неравенств:
- $\lg x \le -2 \implies \lg x \le \lg(10^{-2}) \implies x \le 0.01$.
- $\lg x \ge 3 \implies \lg x \ge \lg(10^3) \implies x \ge 1000$.

6. Учет ОДЗ:
- Из $x \le 0.01$ и $x > 0$ следует $0 < x \le 0.01$.
- Условие $x \ge 1000$ уже удовлетворяет ОДЗ.
Итоговое решение: $x \in (0; 0.01] \cup [1000; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; 0.01] \cup [1000; +\infty)$

г) $\lg^2 x + \lg x - 6 \le 0$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Замена переменной:
Пусть $t = \lg x$. Неравенство становится: $t^2 + t - 6 \le 0$.

3. Решение квадратного неравенства:
Корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$ равны $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.
Парабола $y = t^2 + t - 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется при $-3 \le t \le 2$.

4. Обратная замена:
$-3 \le \lg x \le 2$.

5. Решение логарифмического неравенства:
$\lg(10^{-3}) \le \lg x \le \lg(10^2)$
$0.001 \le x \le 100$.

6. Учет ОДЗ:
Полученный отрезок $[0.001; 100]$ полностью удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: $x \in [0.001; 100]$