Номер 6.58, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.58, страница 186.

6.58 а) $\frac{4}{3^x - 1} - \frac{3}{3^x - 3} \ge 0;$

б) $\frac{3}{2^x - 1} - \frac{2}{2^x - 2} \le 0;$

В) $\frac{3}{5^x + 1} - \frac{2}{5^x - 1} \ge 0;$

Г) $\frac{1}{2^x} + \frac{1}{2^x - 4} \le 0.$

а)

Исходное неравенство: $\frac{4}{3^x - 1} - \frac{3}{3^x - 3} \ge 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(3^x - 1)(3^x - 3)$:

$\frac{4(3^x - 3) - 3(3^x - 1)}{(3^x - 1)(3^x - 3)} \ge 0$

Упростим числитель: $4 \cdot 3^x - 12 - 3 \cdot 3^x + 3 = 3^x - 9$.

Неравенство принимает вид: $\frac{3^x - 9}{(3^x - 1)(3^x - 3)} \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем рациональное неравенство относительно $t$: $\frac{t - 9}{(t - 1)(t - 3)} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя: $t=9$. Корни знаменателя: $t=1, t=3$.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах, учитывая условие $t > 0$.

При $t > 9$ выражение положительно. При $3 < t < 9$ – отрицательно. При $1 < t < 3$ – положительно. При $0 < t < 1$ – отрицательно.

Выбираем интервалы, где выражение не меньше нуля: $t \in (1, 3) \cup [9, \infty)$.

Выполним обратную замену:

1) $1 < t < 3 \implies 1 < 3^x < 3 \implies 3^0 < 3^x < 3^1 \implies 0 < x < 1$.

2) $t \ge 9 \implies 3^x \ge 9 \implies 3^x \ge 3^2 \implies x \ge 2$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup [2, \infty)$.

б)

Исходное неравенство: $\frac{3}{2^x - 1} - \frac{2}{2^x - 2} \le 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2^x - 1)(2^x - 2)$:

$\frac{3(2^x - 2) - 2(2^x - 1)}{(2^x - 1)(2^x - 2)} \le 0$

Упростим числитель: $3 \cdot 2^x - 6 - 2 \cdot 2^x + 2 = 2^x - 4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{2^x - 4}{(2^x - 1)(2^x - 2)} \le 0$.

Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.

$\frac{t - 4}{(t - 1)(t - 2)} \le 0$.

Решим методом интервалов. Корни числителя: $t=4$. Корни знаменателя: $t=1, t=2$.

Определим знаки на интервалах для $t > 0$:

При $t > 4$ выражение положительно. При $2 < t < 4$ – отрицательно. При $1 < t < 2$ – положительно. При $0 < t < 1$ – отрицательно.

Выбираем интервалы, где выражение не больше нуля: $t \in (0, 1) \cup (2, 4]$.

Выполним обратную замену:

1) $0 < t < 1 \implies 0 < 2^x < 1 \implies 2^x < 2^0 \implies x < 0$.

2) $2 < t \le 4 \implies 2 < 2^x \le 4 \implies 2^1 < 2^x \le 2^2 \implies 1 < x \le 2$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2]$.

в)

Исходное неравенство: $\frac{3}{5^x + 1} - \frac{2}{5^x - 1} \ge 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(5^x + 1)(5^x - 1)$:

$\frac{3(5^x - 1) - 2(5^x + 1)}{(5^x + 1)(5^x - 1)} \ge 0$

Упростим числитель: $3 \cdot 5^x - 3 - 2 \cdot 5^x - 2 = 5^x - 5$.

Неравенство принимает вид: $\frac{5^x - 5}{(5^x + 1)(5^x - 1)} \ge 0$.

Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$.

$\frac{t - 5}{(t + 1)(t - 1)} \ge 0$.

Так как $t=5^x>0$, то $t+1$ всегда больше 0. Поэтому знак выражения зависит только от $\frac{t-5}{t-1}$.

Решим неравенство $\frac{t - 5}{t - 1} \ge 0$ методом интервалов. Корни: $t=1, t=5$.

Выражение положительно при $t > 5$ и при $t < 1$. Учитывая $t>0$, получаем решение для $t$: $t \in (0, 1) \cup [5, \infty)$.

Выполним обратную замену:

1) $0 < t < 1 \implies 0 < 5^x < 1 \implies 5^x < 5^0 \implies x < 0$.

2) $t \ge 5 \implies 5^x \ge 5 \implies 5^x \ge 5^1 \implies x \ge 1$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

г)

Исходное неравенство: $\frac{1}{2^x} + \frac{1}{2^x - 4} \le 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2^x(2^x - 4)$:

$\frac{2^x - 4 + 2^x}{2^x(2^x - 4)} \le 0$

Упростим числитель: $2 \cdot 2^x - 4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{2 \cdot 2^x - 4}{2^x(2^x - 4)} \le 0$.

Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.

$\frac{2t - 4}{t(t - 4)} \le 0$.

Так как $t=2^x>0$, то множитель $t$ в знаменателе всегда положителен и не влияет на знак дроби. Неравенство равносильно:

$\frac{2(t - 2)}{t - 4} \le 0 \implies \frac{t - 2}{t - 4} \le 0$.

Решим методом интервалов. Корни: $t=2, t=4$.

Выражение отрицательно при $2 < t < 4$. Учитывая знак $\le$, получаем решение для $t$: $t \in [2, 4)$.

Выполним обратную замену:

$2 \le t < 4 \implies 2 \le 2^x < 4 \implies 2^1 \le 2^x < 2^2 \implies 1 \le x < 2$.

Ответ: $x \in [1, 2)$.