Номер 6.54, страница 186 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.54, страница 186.

6.54* а) $\log_2 (x^2 - 5x + 4) < 2;$

б) $\log_3 (x^2 - 4x + 3) < 1;$

в) $\log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 10x + 9) > -2;$

г) $\log_{\frac{1}{4}} (2x^2 - 6x + 4) > -1.$

а) $\log_2(x^2 - 5x + 4) < 2$

Решение логарифмического неравенства состоит из двух частей: нахождения области допустимых значений (ОДЗ) и решения самого неравенства.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x^2 - 5x + 4 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

2. Решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2:
$2 = \log_2(2^2) = \log_2(4)$
Получаем неравенство: $\log_2(x^2 - 5x + 4) < \log_2(4)$
Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется при переходе к выражениям под логарифмами:
$x^2 - 5x + 4 < 4$
$x^2 - 5x < 0$
$x(x - 5) < 0$
Корни уравнения $x(x - 5) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x$, находящихся в интервале между корнями: $x \in (0; 5)$.

3. Найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty) \\ x \in (0; 5) \end{cases}$
Пересечением этих множеств является объединение интервалов $(0; 1)$ и $(4; 5)$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (4; 5)$.

---

б) $\log_3(x^2 - 4x + 3) < 1$

1. Найдем ОДЗ:
$x^2 - 4x + 3 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 3:
$1 = \log_3(3^1) = \log_3(3)$
$\log_3(x^2 - 4x + 3) < \log_3(3)$
Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 4x + 3 < 3$
$x^2 - 4x < 0$
$x(x - 4) < 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Решение: $x \in (0; 4)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \\ x \in (0; 4) \end{cases}$
Пересечением является $x \in (0; 1) \cup (3; 4)$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (3; 4)$.

---

в) $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 10x + 9) > -2$

1. Найдем ОДЗ:
$x^2 - 10x + 9 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 9$.
Ветви параболы направлены вверх.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (9; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим -2 как логарифм по основанию $\frac{1}{3}$:
$-2 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-2}) = \log_{\frac{1}{3}}(3^2) = \log_{\frac{1}{3}}(9)$
$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 10x + 9) > \log_{\frac{1}{3}}(9)$
Основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 10x + 9 < 9$
$x^2 - 10x < 0$
$x(x - 10) < 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 10$.
Решение: $x \in (0; 10)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (9; +\infty) \\ x \in (0; 10) \end{cases}$
Пересечением является $x \in (0; 1) \cup (9; 10)$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (9; 10)$.

---

г) $\log_{\frac{1}{4}}(2x^2 - 6x + 4) > -1$

1. Найдем ОДЗ:
$2x^2 - 6x + 4 > 0$
Разделим на 2: $x^2 - 3x + 2 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вверх.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

2. Решим неравенство. Представим -1 как логарифм по основанию $\frac{1}{4}$:
$-1 = \log_{\frac{1}{4}}((\frac{1}{4})^{-1}) = \log_{\frac{1}{4}}(4)$
$\log_{\frac{1}{4}}(2x^2 - 6x + 4) > \log_{\frac{1}{4}}(4)$
Основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$2x^2 - 6x + 4 < 4$
$2x^2 - 6x < 0$
$2x(x - 3) < 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.
Решение: $x \in (0; 3)$.

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty) \\ x \in (0; 3) \end{cases}$
Пересечением является $x \in (0; 1) \cup (2; 3)$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (2; 3)$.