Номер 6.49, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.49, страница 185.

6.49 a) $7^{4x^2 - 9x + 6} > 7;$

б) $3^{3x^2 - 7x + 6} < 9;$

в) $(\frac{1}{3})^{5x^2 - 4x - 3} > 9;$

г) $(\frac{1}{2})^{2x^2 + 3x - 6} < 2.$

a) Решим показательное неравенство $7^{4x^2 - 9x + 6} > 7$.
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 7: $7 = 7^1$. Неравенство примет вид: $7^{4x^2 - 9x + 6} > 7^1$.
Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция $y=7^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$4x^2 - 9x + 6 > 1$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$4x^2 - 9x + 5 > 0$
Теперь решим полученное квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 9x + 5 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - 1}{8} = \frac{8}{8} = 1$;
$x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 1}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
График функции $y = 4x^2 - 9x + 5$ — это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $4 > 0$). Следовательно, значения функции положительны (больше нуля) при $x$, находящихся за пределами интервала между корнями.
Таким образом, решением неравенства является $x < 1$ или $x > \frac{5}{4}$.
Ответ: $(-\infty; 1) \cup (\frac{5}{4}; +\infty)$.

б) Решим показательное неравенство $3^{3x^2 - 7x + 6} < 9$.
Представим число 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$. Неравенство принимает вид:
$3^{3x^2 - 7x + 6} < 3^2$.
Поскольку основание $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$3x^2 - 7x + 6 < 2$
$3x^2 - 7x + 4 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $3x^2 - 7x + 4 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$;
$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
График функции $y = 3x^2 - 7x + 4$ — парабола с ветвями вверх ($3 > 0$). Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $1 < x < \frac{4}{3}$.
Ответ: $(1; \frac{4}{3})$.

в) Решим показательное неравенство $(\frac{1}{3})^{5x^2 - 4x - 3} > 9$.
Приведем обе части неравенства к одному основанию. Удобно использовать основание 3. Заметим, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $9 = 3^2$.
$(3^{-1})^{5x^2 - 4x - 3} > 3^2$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$3^{-(5x^2 - 4x - 3)} > 3^2$
$3^{-5x^2 + 4x + 3} > 3^2$
Основание $3 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:
$-5x^2 + 4x + 3 > 2$
$-5x^2 + 4x + 1 > 0$
Чтобы сделать старший коэффициент положительным, умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$5x^2 - 4x - 1 < 0$
Найдем корни уравнения $5x^2 - 4x - 1 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 - 6}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$;
$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{4 + 6}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
График $y = 5x^2 - 4x - 1$ — парабола с ветвями вверх ($5 > 0$). Значения функции отрицательны между корнями.
Решением является интервал $-\frac{1}{5} < x < 1$.
Ответ: $(-\frac{1}{5}; 1)$.

г) Решим показательное неравенство $(\frac{1}{2})^{2x^2 + 3x - 6} < 2$.
Приведем обе части к одному основанию. Можно выбрать основание $\frac{1}{2}$. Запишем правую часть: $2 = (\frac{1}{2})^{-1}$.
$(\frac{1}{2})^{2x^2 + 3x - 6} < (\frac{1}{2})^{-1}$.
Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^t$ является убывающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$2x^2 + 3x - 6 > -1$
$2x^2 + 3x - 5 > 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$;
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
График $y = 2x^2 + 3x - 5$ — парабола с ветвями вверх ($2 > 0$). Значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.
Решением является объединение интервалов $x < -\frac{5}{2}$ или $x > 1$.
Ответ: $(-\infty; -\frac{5}{2}) \cup (1; +\infty)$.