Номер 6.46, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.6. Неравенства, сводящиеся к пройстейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.46, страница 185.

6.46 а) $(0,25)^x \le \frac{1}{8};$

б) $\frac{1}{5^x} \ge 0,04;$;

в) $9 \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{2+3x} \ge \frac{1}{81};$

г) $4 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{2+5x} \le \frac{1}{16}.$

а) Для решения неравенства $(0,25)^x \le \frac{1}{8}$ приведем обе части к одному основанию. Удобно использовать основание 2.
Представим $0,25$ как степень двойки: $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Представим $\frac{1}{8}$ как степень двойки: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Подставим эти значения в исходное неравенство:
$(2^{-2})^x \le 2^{-3}$
$2^{-2x} \le 2^{-3}$
Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:
$-2x \le -3$
Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:
$x \ge \frac{-3}{-2}$
$x \ge \frac{3}{2}$
$x \ge 1,5$
Ответ: $x \in [1,5; +\infty)$.

б) Для решения неравенства $\frac{1}{5^x} \ge 0,04$ приведем обе части к одному основанию 5.
Представим левую часть в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{5^x} = 5^{-x}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.
Подставим полученные выражения в неравенство:
$5^{-x} \ge 5^{-2}$
Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-x \ge -2$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le 2$
Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

в) Для решения неравенства $9 \cdot (\frac{1}{27})^{2+3x} \ge \frac{1}{81}$ приведем все члены к основанию 3.
$9 = 3^2$
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$
Подставим эти значения в неравенство:
$3^2 \cdot (3^{-3})^{2+3x} \ge 3^{-4}$
Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^2 \cdot 3^{-3(2+3x)} \ge 3^{-4}$
$3^{2 + (-3(2+3x))} \ge 3^{-4}$
$3^{2 - 6 - 9x} \ge 3^{-4}$
$3^{-4 - 9x} \ge 3^{-4}$
Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-4 - 9x \ge -4$
$-9x \ge 0$
Разделим на -9 и сменим знак неравенства:
$x \le 0$
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

г) Для решения неравенства $4 \cdot (\frac{1}{8})^{2+5x} \le \frac{1}{16}$ приведем все члены к основанию 2.
$4 = 2^2$
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$
Подставим эти значения в неравенство:
$2^2 \cdot (2^{-3})^{2+5x} \le 2^{-4}$
Упростим левую часть, используя свойства степеней:
$2^2 \cdot 2^{-3(2+5x)} \le 2^{-4}$
$2^{2 - 3(2+5x)} \le 2^{-4}$
$2^{2 - 6 - 15x} \le 2^{-4}$
$2^{-4 - 15x} \le 2^{-4}$
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-4 - 15x \le -4$
$-15x \le 0$
Разделим на -15 и сменим знак неравенства:
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.