Номер 6.40, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.5. Простейшие логарифмические неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.40, страница 181.

6.40 а) $\log_{0,2} x > 1;$

б) $\log_{0,3} x > -1;$

в) $\log_{0,1} x < 2;$

г) $\log_{0,6} x \ge -1;$

д) $\log_{0,7} x \ge 0;$

е) $\log_{0,5} x \le 0.$

а) $\log_{0.2} x > 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.

Теперь представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием $0.2$:

$1 = \log_{0.2} (0.2)^1 = \log_{0.2} 0.2$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать как:

$\log_{0.2} x > \log_{0.2} 0.2$

Поскольку основание логарифма $a = 0.2$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция $y = \log_{0.2} x$ является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x < 0.2$

Наконец, объединим полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x < 0.2 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(0; 0.2)$.

Ответ: $(0; 0.2)$

б) $\log_{0.3} x > -1$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим $-1$ в виде логарифма с основанием $0.3$:

$-1 = \log_{0.3} (0.3)^{-1} = \log_{0.3} \left(\frac{3}{10}\right)^{-1} = \log_{0.3} \frac{10}{3}$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.3} x > \log_{0.3} \frac{10}{3}$

Основание логарифма $a = 0.3$ меньше 1, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x < \frac{10}{3}$

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем систему:

$\begin{cases} x < \frac{10}{3} \\ x > 0 \end{cases}$

Решение: $0 < x < \frac{10}{3}$.

Ответ: $(0; \frac{10}{3})$

в) $\log_{0.1} x < 2$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим $2$ в виде логарифма с основанием $0.1$:

$2 = \log_{0.1} (0.1)^2 = \log_{0.1} 0.01$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.1} x < \log_{0.1} 0.01$

Основание логарифма $a = 0.1$ меньше 1, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x > 0.01$

Пересечение с ОДЗ ($x > 0$ и $x > 0.01$) дает $x > 0.01$.

Ответ: $(0.01; +\infty)$

г) $\log_{0.6} x \ge -1$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим $-1$ в виде логарифма с основанием $0.6$:

$-1 = \log_{0.6} (0.6)^{-1} = \log_{0.6} \left(\frac{6}{10}\right)^{-1} = \log_{0.6} \frac{10}{6} = \log_{0.6} \frac{5}{3}$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.6} x \ge \log_{0.6} \frac{5}{3}$

Основание логарифма $a = 0.6$ меньше 1, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x \le \frac{5}{3}$

С учетом ОДЗ получаем систему:

$\begin{cases} x \le \frac{5}{3} \\ x > 0 \end{cases}$

Решение: $0 < x \le \frac{5}{3}$.

Ответ: $(0; \frac{5}{3}]$

д) $\log_{0.7} x \ge 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим $0$ в виде логарифма с основанием $0.7$:

$0 = \log_{0.7} (0.7)^0 = \log_{0.7} 1$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.7} x \ge \log_{0.7} 1$

Основание логарифма $a = 0.7$ меньше 1, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x \le 1$

С учетом ОДЗ получаем систему:

$\begin{cases} x \le 1 \\ x > 0 \end{cases}$

Решение: $0 < x \le 1$.

Ответ: $(0; 1]$

е) $\log_{0.5} x \le 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Представим $0$ в виде логарифма с основанием $0.5$:

$0 = \log_{0.5} (0.5)^0 = \log_{0.5} 1$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.5} x \le \log_{0.5} 1$

Основание логарифма $a = 0.5$ меньше 1, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$x \ge 1$

Пересечение с ОДЗ ($x > 0$ и $x \ge 1$) дает $x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$