Номер 6.33, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.4. Простейшие показательные неравенства - номер 6.33, страница 177.

Условие.

6.33 a) $81 \cdot 3^x > 1;$

б) $27 \cdot 3^x < 1;$

в) $3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x > -7;$

г) $2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x < -5;$

д) $250 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x < 2;$

е) $12 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x > 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $81 \cdot 3^x > 1$
Представим число 81 как степень 3: $81 = 3^4$. Также представим 1 как степень 3: $1 = 3^0$.
Неравенство примет вид:
$3^4 \cdot 3^x > 3^0$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:
$3^{4+x} > 3^0$
Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$4 + x > 0$
$x > -4$
Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

б) $27 \cdot 3^x < 1$
Представим 27 и 1 как степени 3: $27 = 3^3$ и $1 = 3^0$.
Неравенство примет вид:
$3^3 \cdot 3^x < 3^0$
$3^{3+x} < 3^0$
Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$3 + x < 0$
$x < -3$
Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

в) $3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x > -7$
Разделим обе части неравенства на 3:
$\left(\frac{1}{2}\right)^x > -\frac{7}{3}$
Показательная функция $y = a^x$ (где $a > 0$, $a \ne 1$) всегда принимает только положительные значения. То есть, $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$ для любого действительного $x$.
Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство верно для всех $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x < -5$
Разделим обе части неравенства на 2:
$\left(\frac{1}{3}\right)^x < -\frac{5}{2}$
Выражение $\left(\frac{1}{3}\right)^x$ всегда положительно для любого действительного $x$.
Положительное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, у неравенства нет решений.
Ответ: нет решений.

д) $250 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x < 2$
Разделим обе части неравенства на 250:
$\left(\frac{1}{5}\right)^x < \frac{2}{250}$
$\left(\frac{1}{5}\right)^x < \frac{1}{125}$
Представим $\frac{1}{125}$ как степень с основанием $\frac{1}{5}$: $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = \left(\frac{1}{5}\right)^3$.
$\left(\frac{1}{5}\right)^x < \left(\frac{1}{5}\right)^3$
Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 3$
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

е) $12 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^x > 3$
Разделим обе части неравенства на 12:
$\left(\frac{1}{4}\right)^x > \frac{3}{12}$
$\left(\frac{1}{4}\right)^x > \frac{1}{4}$
$\left(\frac{1}{4}\right)^x > \left(\frac{1}{4}\right)^1$
Так как основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$x < 1$
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.