Номер 6.34, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.4. Простейшие показательные неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.34, страница 178.

6.34 a) $2^{x+2} + 2^x > 20;$

в) $4^{x+1} + 4^x > 1,25;$

д) $4^x - 4^{x-1} < 3;$

б) $3^{x+2} - 3^x < 24;$

г) $3^{2x+1} - 9^x < \frac{2}{3};$

е) $5^x - 5^{x-2} < 24.$

а)

Решим неравенство $2^{x+2} + 2^x > 20$.
Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть неравенства:
$2^x \cdot 2^2 + 2^x > 20$
$4 \cdot 2^x + 2^x > 20$
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x(4 + 1) > 20$
$5 \cdot 2^x > 20$
Разделим обе части неравенства на 5:
$2^x > 4$
Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.
$2^x > 2^2$
Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $3^{x+2} - 3^x < 24$.
Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть:
$3^x \cdot 3^2 - 3^x < 24$
$9 \cdot 3^x - 3^x < 24$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(9 - 1) < 24$
$8 \cdot 3^x < 24$
Разделим обе части неравенства на 8:
$3^x < 3$
Представим 3 как $3^1$:
$3^x < 3^1$
Так как основание степени $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

в)

Решим неравенство $4^{x+1} + 4^x > 1,25$.
Преобразуем левую часть, используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$4^x \cdot 4^1 + 4^x > 1,25$
$4 \cdot 4^x + 4^x > 1,25$
Вынесем $4^x$ за скобки:
$4^x(4 + 1) > 1,25$
$5 \cdot 4^x > 1,25$
Представим $1,25$ в виде обыкновенной дроби: $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.
$5 \cdot 4^x > \frac{5}{4}$
Разделим обе части на 5:
$4^x > \frac{1}{4}$
Представим $\frac{1}{4}$ в виде степени с основанием 4: $\frac{1}{4} = 4^{-1}$.
$4^x > 4^{-1}$
Так как основание $4 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$x > -1$

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $3^{2x+1} - 9^x < \frac{2}{3}$.
Приведем все степени к одному основанию 3. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$. Также $3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^{2x}$.
Подставим преобразованные выражения в неравенство:
$3 \cdot 3^{2x} - 3^{2x} < \frac{2}{3}$
Вынесем $3^{2x}$ за скобки:
$3^{2x}(3 - 1) < \frac{2}{3}$
$2 \cdot 3^{2x} < \frac{2}{3}$
Разделим обе части на 2:
$3^{2x} < \frac{1}{3}$
Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$:
$3^{2x} < 3^{-1}$
Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$2x < -1$
$x < -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5)$.

д)

Решим неравенство $4^x - 4^{x-1} < 3$.
Используя свойство степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем левую часть:
$4^x - 4^x \cdot 4^{-1} < 3$
$4^x - \frac{1}{4} \cdot 4^x < 3$
Вынесем $4^x$ за скобки:
$4^x(1 - \frac{1}{4}) < 3$
$4^x \cdot \frac{3}{4} < 3$
Умножим обе части на $\frac{4}{3}$:
$4^x < 4$
Представим 4 как $4^1$:
$4^x < 4^1$
Так как основание $4 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

е)

Решим неравенство $5^x - 5^{x-2} < 24$.
Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем левую часть:
$5^x - \frac{5^x}{5^2} < 24$
$5^x - \frac{1}{25} \cdot 5^x < 24$
Вынесем $5^x$ за скобки:
$5^x(1 - \frac{1}{25}) < 24$
$5^x \cdot \frac{24}{25} < 24$
Разделим обе части на $\frac{24}{25}$ (т.е. умножим на $\frac{25}{24}$):
$5^x < 25$
Представим 25 как степень с основанием 5: $25 = 5^2$.
$5^x < 5^2$
Так как основание $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$x < 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.