Номер 6.36, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.36° Какие неравенства называют простейшими логарифмическими неравенствами?

Простейшими логарифмическими неравенствами называют неравенства, которые можно представить в одном из следующих видов: $log_a(x) > b$, $log_a(x) < b$, $log_a(x) \ge b$, или $log_a(x) \le b$. В этих неравенствах $a$ является основанием логарифма (причем $a > 0$ и $a \ne 1$), $b$ — это некоторое действительное число, а $x$ — переменная. В более общем виде под простейшими понимают и неравенства, где вместо переменной $x$ стоит некоторая функция $f(x)$.

Решение таких неравенств основано на свойстве монотонности логарифмической функции и обязательном учёте её области допустимых значений (ОДЗ). Для логарифма $log_a(x)$ ОДЗ определяется условием $x > 0$. Решение любого логарифмического неравенства должно удовлетворять этому условию.

Ключевой шаг в решении — переход от неравенства с логарифмами к неравенству для их аргументов (операция потенцирования). Правило этого перехода зависит от величины основания $a$.

Случай 1: основание $a > 1$
Если основание логарифма больше единицы, то логарифмическая функция $y = log_a(x)$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при потенцировании знак неравенства сохраняется.
Например, неравенство $log_2(x) > 3$ решается следующим образом: так как основание $2 > 1$, знак `>` сохраняется. Переходим к неравенству $x > 2^3$, то есть $x > 8$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$), поэтому оно является окончательным.

Случай 2: основание $0 < a < 1$
Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, то логарифмическая функция $y = log_a(x)$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.
Например, для неравенства $log_{0.5}(x) > 3$, основание $0.5 < 1$. Следовательно, знак `>` меняется на `<`. Получаем $x < (0.5)^3$, то есть $x < 0.125$. Теперь необходимо учесть ОДЗ: $x > 0$. Объединяя оба условия ($x < 0.125$ и $x > 0$), получаем итоговое решение в виде двойного неравенства: $0 < x < 0.125$.

Ответ: Простейшими логарифмическими неравенствами называют неравенства вида $log_a(x) \vee b$, где $a$ и $b$ — числа (при этом $a>0, a \ne 1$), $x$ — переменная, а $\vee$ — один из знаков сравнения (`>`, `<`, `≥`, `≤`).