Номер 6.36, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.5. Простейшие логарифмические неравенства - номер 6.36, страница 181.

Условие.

6.36° Какие неравенства называют простейшими логарифмическими неравенствами?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Простейшими логарифмическими неравенствами называют неравенства, которые можно представить в одном из следующих видов: `$log_a(x) > b$`, `$log_a(x) < b$`, `$log_a(x) \ge b$`, или `$log_a(x) \le b$`. В этих неравенствах `$a$` является основанием логарифма (причем `$a > 0$` и `$a \ne 1$`), `$b$` — это некоторое действительное число, а `$x$` — переменная. В более общем виде под простейшими понимают и неравенства, где вместо переменной `$x$` стоит некоторая функция `$f(x)$`.

Решение таких неравенств основано на свойстве монотонности логарифмической функции и обязательном учёте её области допустимых значений (ОДЗ). Для логарифма `$log_a(x)$` ОДЗ определяется условием `$x > 0$`. Решение любого логарифмического неравенства должно удовлетворять этому условию.

Ключевой шаг в решении — переход от неравенства с логарифмами к неравенству для их аргументов (операция потенцирования). Правило этого перехода зависит от величины основания `$a$`.

Случай 1: основание `$a > 1$`
Если основание логарифма больше единицы, то логарифмическая функция `$y = log_a(x)$` является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при потенцировании знак неравенства сохраняется.
Например, неравенство `$log_2(x) > 3$` решается следующим образом: так как основание `$2 > 1$`, знак `>` сохраняется. Переходим к неравенству `$x > 2^3$`, то есть `$x > 8$`. Это решение удовлетворяет ОДЗ (`$x > 0$`), поэтому оно является окончательным.

Случай 2: основание `$0 < a < 1$`
Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, то логарифмическая функция `$y = log_a(x)$` является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.
Например, для неравенства `$log_{0.5}(x) > 3$`, основание `$0.5 < 1$`. Следовательно, знак `>` меняется на `<`. Получаем `$x < (0.5)^3$`, то есть `$x < 0.125$`. Теперь необходимо учесть ОДЗ: `$x > 0$`. Объединяя оба условия (`$x < 0.125$` и `$x > 0$`), получаем итоговое решение в виде двойного неравенства: `$0 < x < 0.125$`.

Ответ: Простейшими логарифмическими неравенствами называют неравенства вида `$log_a(x) \vee b$`, где `$a$` и `$b$` — числа (при этом `$a>0, a \ne 1$`), `$x$` — переменная, а `$\vee$` — один из знаков сравнения (`>`, `<`, `≥`, `≤`).