Номер 6.31, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.4. Простейшие показательные неравенства. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.31, страница 177.

Решите неравенство (6.31–6.35):

6.31

а) $2^x > 4$;

б) $5^x < 125$;

в) $3^x > -1$;

г) $(0,5)^x < -1$;

д) $(0,2)^x > 1$;

е) $8^x > 64$.

а) $2^x > 4$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2. Число 4 можно представить как $2^2$.

Неравенство принимает вид: $2^x > 2^2$.

Так как основание степени $a=2$ больше 1 ($2 > 1$), показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

б) $5^x < 125$

Приведем обе части неравенства к основанию 5. Число 125 это $5^3$, так как $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Неравенство можно переписать в виде: $5^x < 5^3$.

Основание степени $a=5$ больше 1 ($5 > 1$), поэтому функция $y=5^x$ возрастающая. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$x < 3$

Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

в) $3^x > -1$

Рассмотрим функцию $y=3^x$. Это показательная функция с основанием $a=3$, которое больше 1. Область значений любой показательной функции $y=a^x$ (при $a>0, a\neq1$) — это все положительные действительные числа, то есть $y \in (0, +\infty)$.

Таким образом, выражение $3^x$ всегда принимает положительные значения при любом действительном $x$.

Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа, в том числе и -1. Следовательно, неравенство $3^x > -1$ верно для любого значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

г) $(0.5)^x < -1$

Рассмотрим левую часть неравенства. $y=(0.5)^x$ — это показательная функция с основанием $a=0.5$. Как и в предыдущем примере, значение показательной функции всегда положительно, то есть $(0.5)^x > 0$ для любого действительного $x$.

Неравенство $(0.5)^x < -1$ требует, чтобы положительное число было меньше отрицательного, что невозможно.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

д) $(0.2)^x > 1$

Приведем обе части неравенства к основанию 0.2. Число 1 можно представить как любое ненулевое число в степени 0, то есть $1 = (0.2)^0$.

Неравенство принимает вид: $(0.2)^x > (0.2)^0$.

Основание степени $a=0.2$ находится в интервале $0 < a < 1$. В этом случае показательная функция $y=(0.2)^x$ является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к показателям степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

е) $8^x > 64$

Приведем обе части неравенства к основанию 8. Число 64 это квадрат числа 8, то есть $64 = 8^2$.

Перепишем неравенство: $8^x > 8^2$.

Основание степени $a=8$ больше 1 ($8 > 1$), значит, функция $y=8^x$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.