Номер 6.24, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.24, страница 173.

6.24 a) $3^{x+1} - \frac{2}{3^{x+1}-2} = 1;$

б) $5^{x-1} + \frac{2}{5^{x-1}+2} = 1;$

в) $\frac{3^{x+1}+5}{3^x-1} - \frac{3^{x+1}-5}{3^x+1} = 6;$

г) $\frac{2^{x+1}+3}{2^x-1} - \frac{2^{x+1}-1}{2^x+1} = 6.$

а) Исходное уравнение: $3^{x+1} - \frac{2}{3^{x+1}-2} = 1$.

Для решения этого показательного уравнения введем замену. Пусть $t = 3^{x+1}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Также, знаменатель дроби не должен быть равен нулю (область допустимых значений, ОДЗ): $3^{x+1} - 2 \neq 0$, что означает $t \neq 2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t - \frac{2}{t-2} = 1$

Умножим обе части уравнения на $(t-2)$, чтобы избавиться от дроби:

$t(t-2) - 2 = 1 \cdot (t-2)$

$t^2 - 2t - 2 = t - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$t^2 - 3t = 0$

Вынесем $t$ за скобки: $t(t-3) = 0$.

Получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$.

Проверим полученные корни на соответствие условиям $t > 0$ и $t \neq 2$.

Корень $t_1 = 0$ не удовлетворяет условию $t > 0$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $t_2 = 3$ удовлетворяет обоим условиям ($3 > 0$ и $3 \neq 2$).

Выполним обратную замену для $t=3$:

$3^{x+1} = 3$

Поскольку $3 = 3^1$, можем приравнять показатели степеней:

$x+1 = 1$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

б) Исходное уравнение: $5^{x-1} + \frac{2}{5^{x-1}+2} = 1$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 5^{x-1}$. Так как $5^{x-1} > 0$, то $t > 0$.

Знаменатель $5^{x-1}+2$ всегда больше 2, так как $5^{x-1} > 0$. Следовательно, он никогда не равен нулю, и дополнительных ограничений на $x$ нет.

Подставим $t$ в уравнение:

$t + \frac{2}{t+2} = 1$

Умножим обе части на $(t+2)$:

$t(t+2) + 2 = 1 \cdot (t+2)$

$t^2 + 2t + 2 = t + 2$

$t^2 + t = 0$

Вынесем $t$ за скобки: $t(t+1) = 0$.

Получаем два решения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = -1$.

Оба решения не удовлетворяют условию $t > 0$. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

в) Исходное уравнение: $\frac{3^{x+1}+5}{3^x-1} - \frac{3^{x+1}-5}{3^x+1} = 6$.

Упростим выражение $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$. Введем замену $t = 3^x$. Условие: $t>0$.

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю. $3^x - 1 \neq 0 \implies 3^x \neq 1 \implies x \neq 0$. В терминах $t$, $t \neq 1$. $3^x + 1 \neq 0$ выполняется всегда, так как $3^x > 0$.

Перепишем уравнение с переменной $t$:

$\frac{3t+5}{t-1} - \frac{3t-5}{t+1} = 6$

Приведем дроби к общему знаменателю $(t-1)(t+1) = t^2-1$:

$\frac{(3t+5)(t+1) - (3t-5)(t-1)}{t^2-1} = 6$

Раскроем скобки в числителе, а знаменатель перенесем в правую часть:

$(3t^2+3t+5t+5) - (3t^2-3t-5t+5) = 6(t^2-1)$

$(3t^2+8t+5) - (3t^2-8t+5) = 6t^2-6$

$16t = 6t^2-6$

Получаем квадратное уравнение: $6t^2 - 16t - 6 = 0$. Разделим на 2: $3t^2 - 8t - 3 = 0$.

Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(-3) = 64 + 36 = 100$.

$t_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

$t_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Проверяем корни: $t_1=3$ удовлетворяет условиям ($t>0, t \neq 1$). $t_2=-1/3$ не удовлетворяет условию $t>0$.

Выполняем обратную замену: $3^x = 3$, откуда $x=1$.

Проверяем по ОДЗ: $x=1 \neq 0$. Решение подходит.

Ответ: $x=1$.

г) Исходное уравнение: $\frac{2^{x+1}+3}{2^x-1} - \frac{2^{x+1}-1}{2^x+1} = 6$.

Упростим $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$. Введем замену $t = 2^x$, где $t>0$.

ОДЗ: $2^x - 1 \neq 0 \implies 2^x \neq 1 \implies x \neq 0$. Для $t$ это означает $t \neq 1$.

Подставляем $t$ в уравнение:

$\frac{2t+3}{t-1} - \frac{2t-1}{t+1} = 6$

Приводим к общему знаменателю $t^2-1$:

$\frac{(2t+3)(t+1) - (2t-1)(t-1)}{t^2-1} = 6$

$(2t^2+2t+3t+3) - (2t^2-2t-t+1) = 6(t^2-1)$

$(2t^2+5t+3) - (2t^2-3t+1) = 6t^2-6$

$8t+2 = 6t^2-6$

Переносим все в одну сторону: $6t^2 - 8t - 8 = 0$. Разделим на 2: $3t^2 - 4t - 4 = 0$.

Решим квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(-4) = 16 + 48 = 64$.

$t_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

$t_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Проверяем корни: $t_1=2$ подходит ($t>0, t \neq 1$). $t_2=-2/3$ не подходит ($t>0$).

Обратная замена: $2^x = 2$, откуда $x=1$.

Проверяем по ОДЗ: $x=1 \neq 0$. Решение верное.

Ответ: $x=1$.