Номер 6.22, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.22, страница 172.

6.22 a) $\lg^2 x - 3 \lg x + 2 = 0;$

б) $2 \lg^2 x - 5 \lg x - 7 = 0;$

в) $3 \lg^2 x - 5 \lg x + 2 = 0;$

г) $5 \lg^2 x + 4 \lg x - 1 = 0.$

а) $ \lg^2 x - 3 \lg x + 2 = 0 $

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно $ \lg x $. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $ x > 0 $.

Для решения введем замену переменной. Пусть $ t = \lg x $. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$ t^2 - 3t + 2 = 0 $

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни уравнения:

$ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 2 $.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $ x $:

1. При $ t_1 = 1 $, получаем $ \lg x = 1 $, откуда $ x_1 = 10^1 = 10 $.

2. При $ t_2 = 2 $, получаем $ \lg x = 2 $, откуда $ x_2 = 10^2 = 100 $.

Оба найденных значения $ x $ положительны, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 10; 100 $.

б) $ 2 \lg^2 x - 5 \lg x - 7 = 0 $

Это уравнение также является квадратным относительно $ \lg x $. ОДЗ: $ x > 0 $.

Сделаем замену $ t = \lg x $. Уравнение примет вид:

$ 2t^2 - 5t - 7 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 $

Корни уравнения для $ t $:

$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 9}{4} $

$ t_1 = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} $

$ t_2 = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $

Произведем обратную замену:

1. Если $ \lg x = \frac{7}{2} $, то $ x_1 = 10^{7/2} = 10^{3.5} = 1000\sqrt{10} $.

2. Если $ \lg x = -1 $, то $ x_2 = 10^{-1} = 0.1 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 0.1; 1000\sqrt{10} $.

в) $ 3 \lg^2 x - 5 \lg x + 2 = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $ \lg x $. ОДЗ: $ x > 0 $.

Пусть $ t = \lg x $. Тогда получаем уравнение:

$ 3t^2 - 5t + 2 = 0 $

Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 $

Найдем корни для $ t $:

$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6} $

$ t_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

$ t_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Выполним обратную замену:

1. Если $ \lg x = 1 $, то $ x_1 = 10^1 = 10 $.

2. Если $ \lg x = \frac{2}{3} $, то $ x_2 = 10^{2/3} = \sqrt[3]{10^2} = \sqrt[3]{100} $.

Оба корня являются положительными числами.

Ответ: $ 10; \sqrt[3]{100} $.

г) $ 5 \lg^2 x + 4 \lg x - 1 = 0 $

Данное уравнение является квадратным относительно $ \lg x $. ОДЗ: $ x > 0 $.

Введем замену $ t = \lg x $:

$ 5t^2 + 4t - 1 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 $

Найдем корни для $ t $:

$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm 6}{10} $

$ t_1 = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $

$ t_2 = \frac{-4 - 6}{10} = \frac{-10}{10} = -1 $

Сделаем обратную замену:

1. Если $ \lg x = \frac{1}{5} $, то $ x_1 = 10^{1/5} = \sqrt[5]{10} $.

2. Если $ \lg x = -1 $, то $ x_2 = 10^{-1} = 0.1 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 0.1; \sqrt[5]{10} $.