Номер 6.15, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.2. Простейшие логарифмические уравнения. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.15, страница 169.

6.15 a) $\log_2^2 x + 5 \log_3 x \log_4 x + \log_5^2 x = 0;$

б) $\log_3^2 x + 2 \log_4 x \log_5 x + 6 \log_6^2 x = 0;$

в) $\log_5^2 x - 13 \log_5 x \log_4 x + 22 \log_4^2 x = 0;$

г) $\log_2^2 x - 5 \log_2 x \log_3 x + 6 \log_3^2 x = 0.$

а)

Исходное уравнение: $ \log_2^2 x + 5 \log_3 x \log_4 x + \log_5^2 x = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $ x > 0 $.

Приведем все логарифмы в уравнении к одному основанию, например, к натуральному логарифму $ \ln $, используя формулу перехода к новому основанию $ \log_b a = \frac{\ln a}{\ln b} $.

Уравнение примет вид:

$ \left(\frac{\ln x}{\ln 2}\right)^2 + 5 \left(\frac{\ln x}{\ln 3}\right) \left(\frac{\ln x}{\ln 4}\right) + \left(\frac{\ln x}{\ln 5}\right)^2 = 0 $

Упростим выражение:

$ \frac{(\ln x)^2}{(\ln 2)^2} + \frac{5 (\ln x)^2}{(\ln 3)(\ln 4)} + \frac{(\ln x)^2}{(\ln 5)^2} = 0 $

Вынесем общий множитель $ (\ln x)^2 $ за скобки:

$ (\ln x)^2 \left( \frac{1}{(\ln 2)^2} + \frac{5}{(\ln 3)(\ln 4)} + \frac{1}{(\ln 5)^2} \right) = 0 $

Рассмотрим выражение в скобках. Так как основания логарифмов $ 2, 3, 4, 5 $ больше 1, их натуральные логарифмы $ \ln 2, \ln 3, \ln 4, \ln 5 $ являются положительными числами. Следовательно, каждый член в скобках — положительное число:

$ \frac{1}{(\ln 2)^2} > 0, \quad \frac{5}{(\ln 3)(\ln 4)} > 0, \quad \frac{1}{(\ln 5)^2} > 0 $.

Сумма трех положительных чисел также является положительным числом. Обозначим эту сумму константой $ C $, где $ C > 0 $.

Тогда уравнение принимает вид $ (\ln x)^2 \cdot C = 0 $. Поскольку $ C \ne 0 $, для выполнения равенства необходимо, чтобы $ (\ln x)^2 = 0 $, откуда $ \ln x = 0 $.

Решением уравнения $ \ln x = 0 $ является $ x = e^0 = 1 $.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x=1 $.

б)

Исходное уравнение: $ \log_3^2 x + 2 \log_4 x \log_5 x + 6 \log_6^2 x = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Как и в предыдущем задании, приведем все логарифмы к натуральному логарифму:

$ \left(\frac{\ln x}{\ln 3}\right)^2 + 2 \left(\frac{\ln x}{\ln 4}\right) \left(\frac{\ln x}{\ln 5}\right) + 6 \left(\frac{\ln x}{\ln 6}\right)^2 = 0 $

$ \frac{(\ln x)^2}{(\ln 3)^2} + \frac{2 (\ln x)^2}{(\ln 4)(\ln 5)} + \frac{6 (\ln x)^2}{(\ln 6)^2} = 0 $

Вынесем $ (\ln x)^2 $ за скобки:

$ (\ln x)^2 \left( \frac{1}{(\ln 3)^2} + \frac{2}{(\ln 4)(\ln 5)} + \frac{6}{(\ln 6)^2} \right) = 0 $

Все основания логарифмов ($ 3, 4, 5, 6 $) больше 1, поэтому их натуральные логарифмы положительны. Выражение в скобках представляет собой сумму положительных слагаемых, а значит, само является положительной константой, не равной нулю.

Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы $ (\ln x)^2 = 0 $, что означает $ \ln x = 0 $.

Отсюда получаем единственный корень $ x = 1 $, который входит в ОДЗ.

Ответ: $ x=1 $.

в)

Исходное уравнение: $ \log_5^2 x - 13 \log_5 x \log_4 x + 22 \log_4^2 x = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно $ \log_5 x $ и $ \log_4 x $.

Заметим, что $ x=1 $ является корнем, так как при $ x=1 $ все логарифмы равны нулю, и уравнение превращается в верное равенство $ 0=0 $.

Для поиска других корней решим уравнение как квадратное относительно $ \log_5 x $. Пусть $ a = \log_5 x $ и $ b = \log_4 x $. Уравнение принимает вид:

$ a^2 - 13ab + 22b^2 = 0 $.

Разложим левую часть на множители. Найдем корни уравнения $ t^2 - 13t + 22 = 0 $ относительно $ t = a/b $. Корни $ t_1 = 2, t_2 = 11 $. Тогда $ a^2 - 13ab + 22b^2 = (a-2b)(a-11b) = 0 $.

Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$ \left[ \begin{gathered} \log_5 x - 2 \log_4 x = 0 \\ \log_5 x - 11 \log_4 x = 0 \end{gathered} \right. $

Решим каждое уравнение отдельно.

1) $ \log_5 x = 2 \log_4 x $

Перейдем к натуральному логарифму: $ \frac{\ln x}{\ln 5} = 2 \frac{\ln x}{\ln 4} $.

$ \ln x \left(\frac{1}{\ln 5} - \frac{2}{\ln 4}\right) = 0 $.

Это равенство выполняется, если $ \ln x = 0 $ (т.е. $ x=1 $) или если выражение в скобках равно нулю. Проверим скобку: $ \frac{1}{\ln 5} = \frac{2}{\ln 4} \implies \ln 4 = 2 \ln 5 = \ln(5^2) \implies 4 = 25 $, что неверно. Значит, единственное решение в этом случае — $ x=1 $.

2) $ \log_5 x = 11 \log_4 x $

Аналогично: $ \frac{\ln x}{\ln 5} = 11 \frac{\ln x}{\ln 4} \implies \ln x \left(\frac{1}{\ln 5} - \frac{11}{\ln 4}\right) = 0 $.

Отсюда либо $ \ln x = 0 $ ($ x=1 $), либо $ \ln 4 = 11 \ln 5 = \ln(5^{11}) \implies 4 = 5^{11} $, что неверно. Единственное решение здесь также $ x=1 $.

Объединяя решения, получаем единственный корень.

Ответ: $ x=1 $.

г)

Исходное уравнение: $ \log_2^2 x - 5 \log_2 x \log_3 x + 6 \log_3^2 x = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Это однородное уравнение второй степени относительно $ \log_2 x $ и $ \log_3 x $.

Корень $ x=1 $ очевиден, так как $ \log_2 1 = 0 $ и $ \log_3 1 = 0 $, что дает $ 0=0 $.

Для поиска других корней, разложим левую часть на множители. Пусть $ a = \log_2 x $ и $ b = \log_3 x $. Уравнение имеет вид:

$ a^2 - 5ab + 6b^2 = 0 $.

Разложим на множители: $ (a-2b)(a-3b) = 0 $.

Это равносильно совокупности двух уравнений:

$ \left[ \begin{gathered} \log_2 x - 2 \log_3 x = 0 \\ \log_2 x - 3 \log_3 x = 0 \end{gathered} \right. $

Решим каждое уравнение.

1) $ \log_2 x = 2 \log_3 x $

Перейдем к натуральному логарифму: $ \frac{\ln x}{\ln 2} = 2 \frac{\ln x}{\ln 3} \implies \ln x \left(\frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 3}\right) = 0 $.

Отсюда либо $ \ln x = 0 $ (т.е. $ x=1 $), либо $ \frac{1}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 3} \implies \ln 3 = 2 \ln 2 = \ln(2^2) \implies 3=4 $, что неверно. Единственное решение — $ x=1 $.

2) $ \log_2 x = 3 \log_3 x $

Перейдем к натуральному логарифму: $ \frac{\ln x}{\ln 2} = 3 \frac{\ln x}{\ln 3} \implies \ln x \left(\frac{1}{\ln 2} - \frac{3}{\ln 3}\right) = 0 $.

Отсюда либо $ \ln x = 0 $ (т.е. $ x=1 $), либо $ \frac{1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 3} \implies \ln 3 = 3 \ln 2 = \ln(2^3) \implies 3=8 $, что неверно. Единственное решение здесь также $ x=1 $.

Все ветви решения приводят к единственному корню.

Ответ: $ x=1 $.