Номер 6.9, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.2. Простейшие логарифмические уравнения. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.9, страница 168.

6.9 a) Какое уравнение называют простейшим логарифмическим уравнением?

б) Сколько решений имеет уравнение $\log_a x = b$, если $a > 0$, $a \neq 1$, $b \in \mathbb{R}$?

а) Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида $\log_a x = b$, где $x$ — это переменная, а $a$ и $b$ — заданные числа. При этом на основание логарифма $a$ накладываются стандартные ограничения: $a > 0$ и $a \neq 1$. Любое логарифмическое уравнение после преобразований, как правило, сводится к одному или нескольким простейшим.
Ответ: Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида $\log_a x = b$, где $a > 0$, $a \neq 1$.

б) Рассмотрим уравнение $\log_a x = b$ при условиях $a > 0$, $a \neq 1$ и $b \in \mathbb{R}$ (то есть $b$ — любое действительное число).
По определению логарифма, равенство $\log_a x = b$ означает, что $x$ — это число, которое получается, если возвести основание $a$ в степень $b$. Таким образом, данное уравнение равносильно следующему:
$x = a^b$
Поскольку $a$ — это заданное положительное, не равное единице число, а $b$ — заданное действительное число, то значение выражения $a^b$ является единственным. Это означает, что для $x$ существует только одно возможное значение.
Также стоит отметить, что для любого действительного $b$ и положительного $a$, значение $a^b$ всегда будет положительным ($a^b > 0$). Это удовлетворяет области определения логарифма, так как аргумент логарифма ($x$) должен быть строго больше нуля.
Следовательно, при заданных условиях уравнение всегда имеет ровно одно решение.
Ответ: Уравнение имеет одно решение.