Номер 6.2, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.1. Простейшие показательные уравнения - номер 6.2, страница 166.

Условие.

6.2° Сколько корней имеет уравнение $a^x = b$, $a > 0$, $a \ne 1$, если:

а) $b \le 0$;

б) $b > 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Рассмотрим уравнение $a^x = b$ при условии $a > 0, a \ne 1$ и $b \le 0$. Показательная функция $y = a^x$ по определению принимает только положительные значения при любом действительном $x$. То есть, область значений показательной функции — это интервал $(0, +\infty)$. В данном случае правая часть уравнения, число $b$, является неположительным ($b \le 0$). Поскольку значение $a^x$ всегда строго больше нуля, а $b$ меньше либо равно нулю, равенство $a^x = b$ не может быть выполнено ни при каком значении $x$. Следовательно, у уравнения нет корней.
Ответ: 0 корней.

б) Рассмотрим уравнение $a^x = b$ при условии $a > 0, a \ne 1$ и $b > 0$. Показательная функция $y = a^x$ является строго монотонной на всей области определения (возрастает при $a>1$ и убывает при $0<a<1$). Это означает, что каждое свое значение она принимает ровно один раз. Поскольку по условию $b > 0$, число $b$ входит в область значений показательной функции, которая равна $(0, +\infty)$. Следовательно, существует единственное значение $x$, для которого равенство $a^x = b$ будет верным. Это значение по определению логарифма равно $x = \log_a b$. Так как условия для существования логарифма ($a > 0, a \ne 1, b > 0$) выполнены, уравнение всегда имеет один и только один корень.
Ответ: 1 корень.