Номер 5.45, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.5*. Степенные функции. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.45, страница 163.

5.45° Какова область определения функции $y = x^{\beta}$, если:

а) $\beta > 0$;

б) $\beta \leq 0$?

Область определения степенной функции $y = x^\beta$ существенно зависит от показателя степени $\beta$.

а) $\beta > 0$

Рассмотрим различные возможные случаи для показателя $\beta > 0$.

Если $\beta$ — натуральное число (например, $2, 3, ...$) или положительное рациональное число с нечетным знаменателем в несократимой записи (например, $\beta = 1/3, 5/7, ...$), то функция $y=x^\beta$ определена для всех действительных чисел $x$. В этом случае область определения — $x \in (-\infty; +\infty)$. Например, $y=x^2$ или $y=x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$.

Если $\beta$ — положительное иррациональное число (например, $\pi, \sqrt{2}, ...$) или положительное рациональное число с четным знаменателем в несократимой записи (например, $\beta = 1/2, 3/4, ...$), то функция $y=x^\beta$ по определению задается только для неотрицательных значений основания $x$. В этом случае область определения — $x \ge 0$. Например, $y=x^{1/2}=\sqrt{x}$ или $y=x^\pi$.

Поскольку в условии задачи природа числа $\beta$ не уточнена, чтобы дать ответ, верный для любого возможного $\beta > 0$, необходимо выбрать наиболее общее (наиболее ограничивающее) условие на $x$. Таким условием является $x \ge 0$. Это гарантирует, что выражение $x^\beta$ будет определено для любого положительного показателя $\beta$. При $x=0$ и $\beta > 0$, значение функции $0^\beta = 0$ является определенным.

Ответ: В общем случае, область определения функции $y=x^\beta$ при $\beta>0$ есть промежуток $[0; +\infty)$.

б) $\beta \le 0$

Рассмотрим два случая, входящие в это условие: $\beta = 0$ и $\beta < 0$.

Случай 1: $\beta = 0$.
Функция принимает вид $y = x^0$. По стандартному определению, любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Выражение $0^0$ является неопределенностью и, как правило, не определено. Таким образом, область определения функции $y=x^0$ — это все действительные числа, кроме нуля: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Случай 2: $\beta < 0$.
Пусть $\beta = -\alpha$, где $\alpha > 0$. Тогда функция имеет вид $y = x^{-\alpha} = \frac{1}{x^\alpha}$.
Из этой записи видно, что знаменатель $x^\alpha$ не может быть равен нулю, что означает $x \neq 0$. Кроме того, само выражение $x^\alpha$ в знаменателе должно быть определено. Как и в пункте а), область определения $x^\alpha$ зависит от природы числа $\alpha>0$: - Если $\alpha$ — такое, что $x^\alpha$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$ (например, $\alpha$ — целое), то с учетом $x \neq 0$ область определения $y = 1/x^\alpha$ есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. - Если $\alpha$ — такое, что $x^\alpha$ определено только для $x \ge 0$ (например, $\alpha = 1/2$ или $\alpha = \pi$), то с учетом $x \neq 0$ область определения $y = 1/x^\alpha$ есть $x > 0$.

Для того чтобы дать общий ответ для всего условия $\beta \le 0$, необходимо найти множество значений $x$, при которых функция $y=x^\beta$ будет определена для любого $\beta$, удовлетворяющего этому условию. - Значение $x=0$ недопустимо, так как при $\beta \le 0$ возникает либо деление на ноль ($1/0^\alpha$), либо неопределенность $0^0$. - Отрицательные значения $x$ недопустимы, так как для многих $\beta \le 0$ (например, $\beta=-1/2$) выражение $x^\beta$ не определено в области действительных чисел. - Положительные значения $x > 0$ являются допустимыми для любого действительного показателя $\beta$, включая все $\beta \le 0$.Следовательно, наиболее общая область определения, работающая для любого $\beta \le 0$, — это множество всех положительных чисел.

Ответ: В общем случае, область определения функции $y=x^\beta$ при $\beta \le 0$ есть промежуток $(0; +\infty)$.