Номер 5.41, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.4*. Десятичные логарифмы. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.41, страница 159.

С помощью таблиц антилогарифмов найдите приближённо A, если (5.41—5.42):

5.41 a) $ \lg A = 0,48 $; б) $ \lg A = 1,48 $; в) $ \lg A = -0,52 $;
г) $ \lg A = -1,52 $; д) $ \lg A = 3,48 $; е) $ \lg A = -2,52 $.

Для нахождения числа $A$ по его десятичному логарифму $lg A$ необходимо найти антилогарифм: $A = 10^{\lg A}$. При использовании таблиц антилогарифмов значение логарифма представляют в виде суммы его целой части (характеристики $c$) и положительной дробной части (мантиссы $m$).

Таким образом, $lg A = c + m$, где $c$ — целое число, а $0 \le m < 1$.Тогда число $A$ вычисляется по формуле: $A = 10^{c+m} = 10^c \cdot 10^m$.

Значение $10^m$ (антилогарифм мантиссы) находится по таблице антилогарифмов. Характеристика $c$ определяет порядок числа $A$, то есть отвечает за положение десятичной запятой в итоговом числе.

Если значение логарифма отрицательно, его необходимо преобразовать так, чтобы мантисса стала положительной. Например, для $lg A = -1,52$ мы делаем следующее: $lg A = -1,52 = -2 + 2 - 1,52 = -2 + 0,48$. В этом случае характеристика $c = -2$, а мантисса $m = 0,48$.

Во всех пунктах данной задачи мантисса логарифма оказывается одинаковой и равной $0,48$. По таблице антилогарифмов (или с помощью калькулятора) находим значение для этой мантиссы:$10^{0,48} \approx 3,020$.Это значение мы будем использовать для решения всех пунктов.

а) lg A = 0,48

Представим логарифм в виде суммы характеристики и мантиссы: $lg A = 0 + 0,48$.Характеристика $c = 0$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{0,48} = 10^0 \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 1 \cdot 3,020 = 3,020$.

Ответ: $A \approx 3,020$.

б) lg A = 1,48

Представим логарифм в виде суммы характеристики и мантиссы: $lg A = 1 + 0,48$.Характеристика $c = 1$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{1,48} = 10^1 \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 10 \cdot 3,020 = 30,20$.

Ответ: $A \approx 30,20$.

в) lg A = -0,52

Для отрицательного логарифма найдем характеристику и положительную мантиссу:$lg A = -0,52 = -1 + 1 - 0,52 = -1 + 0,48$.Характеристика $c = -1$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{-0,52} = 10^{-1} \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 0,1 \cdot 3,020 = 0,3020$.

Ответ: $A \approx 0,3020$.

г) lg A = -1,52

Для отрицательного логарифма найдем характеристику и положительную мантиссу:$lg A = -1,52 = -2 + 2 - 1,52 = -2 + 0,48$.Характеристика $c = -2$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{-1,52} = 10^{-2} \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 0,01 \cdot 3,020 = 0,03020$.

Ответ: $A \approx 0,03020$.

д) lg A = 3,48

Представим логарифм в виде суммы характеристики и мантиссы: $lg A = 3 + 0,48$.Характеристика $c = 3$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{3,48} = 10^3 \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 1000 \cdot 3,020 = 3020$.

Ответ: $A \approx 3020$.

е) lg A = -2,52

Для отрицательного логарифма найдем характеристику и положительную мантиссу:$lg A = -2,52 = -3 + 3 - 2,52 = -3 + 0,48$.Характеристика $c = -3$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{-2,52} = 10^{-3} \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 0,001 \cdot 3,020 = 0,003020$.

Ответ: $A \approx 0,003020$.