Номер 5.37, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.4*. Десятичные логарифмы. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.37, страница 159.

$5.37^\circ$ Что называют характеристикой и мантиссой десятичного логарифма?

Десятичный логарифм (обозначается $\lg x$) — это логарифм по основанию 10. Любой десятичный логарифм положительного числа можно представить в виде суммы его целой части и неотрицательной дробной части. Это представление лежит в основе понятий характеристики и мантиссы.

Характеристикой десятичного логарифма называют его целую часть.

Мантиссой десятичного логарифма называют его неотрицательную дробную часть.

Таким образом, для любого положительного числа $N$, его десятичный логарифм $\lg N$ можно единственным образом представить в виде суммы: $\lg N = c + m$ где $c$ — целое число ($c \in \mathbb{Z}$), которое является характеристикой, а $m$ — число из полуинтервала $[0, 1)$, которое является мантиссой.

Найти характеристику можно, взяв целую часть от значения логарифма: $c = [\lg N]$ (функция «пол» или «антье»). Мантисса затем вычисляется как разность: $m = \lg N - c$. Важно, что мантисса по определению всегда неотрицательна.

Практический смысл этих понятий становится ясен при использовании стандартной записи числа. Любое положительное число $N$ можно записать в виде $N = a \cdot 10^c$, где $1 \le a < 10$, а $c$ — целое число (порядок числа). Если прологарифмировать это равенство по основанию 10, получим: $\lg N = \lg(a \cdot 10^c) = \lg a + \lg 10^c = c + \lg a$ В этой формуле слагаемое $c$ (порядок числа) является характеристикой логарифма. Поскольку $1 \le a < 10$, то $\lg 1 \le \lg a < \lg 10$, что эквивалентно $0 \le \lg a < 1$. Таким образом, слагаемое $\lg a$ является мантиссой логарифма $\lg N$.

Например, рассмотрим число $N = 345.6$. В стандартном виде это $3.456 \cdot 10^2$. Тогда $\lg 345.6 = 2 + \lg 3.456$. Характеристика равна $2$, а мантисса равна $\lg 3.456 \approx 0.5386$. Сам логарифм $\lg 345.6 \approx 2.5386$.

В другом примере, для числа $N = 0.03456 = 3.456 \cdot 10^{-2}$, имеем $\lg 0.03456 = -2 + \lg 3.456$. Характеристика равна $-2$, а мантисса та же: $\lg 3.456 \approx 0.5386$. Сам логарифм при этом равен $\lg 0.03456 \approx -2 + 0.5386 = -1.4614$. Важно правильно выделять характеристику для отрицательных логарифмов: это всегда целое число, не превосходящее значение логарифма. Так, для $-1.4614$ характеристикой будет $[-1.4614] = -2$, а не $-1$, поскольку мантисса должна быть неотрицательной ($m = -1.4614 - (-2) = 0.5386 \ge 0$).

Ответ: Характеристикой десятичного логарифма ($\lg N$) называют его целую часть $c = [\lg N]$. Мантиссой десятичного логарифма называют его неотрицательную дробную часть $m = \lg N - [\lg N]$, где $0 \le m < 1$. Любой десятичный логарифм является суммой своей характеристики и мантиссы: $\lg N = c + m$.