Номер 5.35, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 5. Логарифмы. 5.3. Логарифмическая функция - номер 5.35, страница 157.

Условие.

Постройте график функции (5.35–5.36):

5.35

а) $y = \log_2 x;$

б) $y = \log_2 (-x);$

в) $y = \log_2 |x|;$

г) $y = \log_2 (x - 3);$

д) $y = \log_2 (-x + 3);$

е) $y = \log_2 |x + 2|;$

ж) $y = |\log_2 x|;$

з) $y = |\log_2 x - 2|;$

и) $y = |\log_2 (x - 2) - 1|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = \log_2 x$

Это основная логарифмическая функция с основанием 2. Для построения ее графика определим основные свойства и найдем несколько ключевых точек.
1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. Область определения: $(0, +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty, +\infty)$.
3. Вертикальная асимптота: Прямая $x=0$ (ось Oy). При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.
4. Точки на графике:

• При $x=1$, $y = \log_2 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ (пересечение с осью Ox).
• При $x=2$, $y = \log_2 2 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• При $x=4$, $y = \log_2 4 = 2$. Точка $(4, 2)$.
• При $x=0.5$, $y = \log_2 0.5 = -1$. Точка $(0.5, -1)$.

5. Монотонность: Так как основание $2 > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая начинается в левой части от оси Oy, приближаясь к ней асимптотически ($y \to -\infty$ при $x \to 0^+$), пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$ и плавно возрастает вправо, проходя через точки $(2, 1)$, $(4, 2)$ и так далее.

б) $y = \log_2(-x)$

Этот график можно получить из графика функции $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения относительно оси Oy.
1. Область определения: $-x > 0$, что эквивалентно $x < 0$. Область определения: $(-\infty, 0)$.
2. Вертикальная асимптота: Прямая $x=0$ (ось Oy). При $x \to 0^-$, $y \to -\infty$.
3. Точки на графике: Получаем их, изменяя знак координаты $x$ у точек графика $y = \log_2 x$.

• Точка $(-1, 0)$ (пересечение с осью Ox).
• Точка $(-2, 1)$.
• Точка $(-4, 2)$.
• Точка $(-0.5, -1)$.

4. Монотонность: Функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: График функции является зеркальным отражением графика $y=\log_2 x$ относительно оси Oy. Кривая начинается в правой части от оси Oy, приближаясь к ней асимптотически ($y \to -\infty$ при $x \to 0^-$), пересекает ось Ox в точке $(-1, 0)$ и плавно убывает влево, проходя через точки $(-2, 1)$, $(-4, 2)$ и так далее.

в) $y = \log_2|x|$

Данная функция является четной, так как $y(x) = \log_2|x|$ и $y(-x) = \log_2|-x| = \log_2|x|$. Ее график симметричен относительно оси Oy. Функцию можно представить в виде: $y = \begin{cases} \log_2 x, & \text{если } x > 0 \\ \log_2 (-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$
1. Область определения: $|x| > 0$, то есть $x \neq 0$. Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Построение графика:

• Для $x > 0$ строим график $y = \log_2 x$ (как в пункте а).
• Для $x < 0$ строим график $y = \log_2 (-x)$ (как в пункте б), что является отражением первой части относительно оси Oy.

3. Вертикальная асимптота: Прямая $x=0$.
4. Пересечения с осью Ox: $|x|=1$, то есть $x=1$ и $x=-1$. Точки $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. Правая ветвь совпадает с графиком $y=\log_2 x$ для $x>0$. Левая ветвь является ее зеркальным отражением. Обе ветви имеют общую вертикальную асимптоту $x=0$.

г) $y = \log_2(x-3)$

Этот график можно получить из графика $y = \log_2 x$ путем сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.
1. Область определения: $x-3 > 0$, то есть $x > 3$. Область определения: $(3, +\infty)$.
2. Вертикальная асимптота: Асимптота $x=0$ для базовой функции смещается на 3 вправо, становясь прямой $x=3$.
3. Точки на графике: Получаем их, прибавляя 3 к координате $x$ у точек графика $y = \log_2 x$.

• Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \log_2(x-3)=0 \Rightarrow x-3=1 \Rightarrow x=4$. Точка $(4, 0)$.
• Точка $(3+2, 1) = (5, 1)$.
• Точка $(3+4, 2) = (7, 2)$.
• Точка $(3+0.5, -1) = (3.5, -1)$.

Ответ: График функции $y=\log_2 x$, сдвинутый на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота — прямая $x=3$. График пересекает ось Ox в точке $(4, 0)$ и возрастает при $x > 3$.

д) $y = \log_2(-x+3)$

Преобразуем функцию: $y = \log_2(-(x-3))$. Ее график можно получить из графика $y = \log_2(-x)$ (из пункта б) сдвигом на 3 единицы вправо.
1. Область определения: $-x+3 > 0$, то есть $x < 3$. Область определения: $(-\infty, 3)$.
2. Вертикальная асимптота: Прямая $x=3$.
3. Точки на графике:

• Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow -x+3=1 \Rightarrow x=2$. Точка $(2, 0)$.
• При $x=1$, $y=\log_2(-1+3)=\log_2 2=1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x=-1$, $y=\log_2(-(-1)+3)=\log_2 4=2$. Точка $(-1, 2)$.
• При $x=2.5$, $y=\log_2(-2.5+3)=\log_2 0.5=-1$. Точка $(2.5, -1)$.

Ответ: График функции является отражением графика $y=\log_2(x-3)$ из пункта г) относительно прямой $x=3$. Это убывающая кривая, определенная для $x<3$, с вертикальной асимптотой $x=3$ и пересечением оси Ox в точке $(2, 0)$.

е) $y = \log_2|x+2|$

Этот график можно получить из графика $y = \log_2|x|$ (из пункта в) сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox.
1. Область определения: $|x+2| > 0$, то есть $x \neq -2$. Область определения: $(-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.
2. Вертикальная асимптота: Асимптота $x=0$ для $y=\log_2|x|$ смещается на 2 влево, становясь прямой $x=-2$.
3. Симметрия: График симметричен относительно прямой $x=-2$.
4. Точки на графике:

• Пересечения с осью Ox: $|x+2|=1 \Rightarrow x+2=1$ или $x+2=-1$. Отсюда $x=-1$ и $x=-3$. Точки $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.
• При $x=0$, $y=\log_2|0+2|=\log_2 2=1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x=-4$, $y=\log_2|-4+2|=\log_2 2=1$. Точка $(-4, 1)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $x=-2$, которая является вертикальной асимптотой. Ветви пересекают ось Ox в точках $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$.

ж) $y = |\log_2 x|$

График этой функции получается из графика $y = \log_2 x$ путем отражения той его части, что лежит ниже оси Ox ($y<0$), симметрично относительно оси Ox.
1. Область определения: $x > 0$.
2. Построение:

• Сначала строим график $y = \log_2 x$ (как в пункте а).
• Часть графика при $x \ge 1$ (где $\log_2 x \ge 0$) остается без изменений. Это точки $(1, 0), (2, 1), (4, 2)$ и т.д.
• Часть графика при $0 < x < 1$ (где $\log_2 x < 0$) отражается вверх относительно оси Ox. Например, точка $(0.5, -1)$ переходит в $(0.5, 1)$, точка $(0.25, -2)$ переходит в $(0.25, 2)$.

3. Вертикальная асимптота: $x=0$. При $x \to 0^+$, $\log_2 x \to -\infty$, следовательно $|\log_2 x| \to +\infty$.
4. Особенность: В точке $(1, 0)$ график имеет излом (острую вершину).

Ответ: График расположен полностью в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$, к которой стремится вверх. График "отражается" от оси Ox в точке $(1,0)$, образуя в ней излом, и далее совпадает с графиком $y=\log_2 x$.

з) $y = |\log_2 x - 2|$

Для построения этого графика выполним последовательные преобразования:
1. Строим график $y_1 = \log_2 x$.
2. Сдвигаем его на 2 единицы вниз, получаем $y_2 = \log_2 x - 2$.

• Область определения $y_2$: $x > 0$.
• Асимптота $y_2$: $x=0$.
• Пересечение с Ox для $y_2$: $\log_2 x - 2 = 0 \Rightarrow \log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4$. Точка $(4, 0)$.

3. Отражаем часть графика $y_2$, лежащую ниже оси Ox, симметрично относительно оси Ox.

• Часть графика $y_2$ при $x \ge 4$ остается на месте.
• Часть графика $y_2$ при $0 < x < 4$ отражается вверх. Например, точка $(1, -2)$ на графике $y_2$ переходит в точку $(1, 2)$, а точка $(2, -1)$ — в точку $(2, 1)$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (стремится к $+\infty$). Он касается оси Ox в точке $(4, 0)$, образуя излом. При $0 < x < 4$ кривая убывает от $+\infty$ до $0$, проходя через точки $(1,2)$ и $(2,1)$. При $x > 4$ кривая возрастает, проходя через точку $(8,1)$.

и) $y = |\log_2(x-2) - 1|$

Для построения этого графика выполним последовательные преобразования:
1. Строим график $y_1 = \log_2 x$.
2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо: $y_2 = \log_2(x-2)$.
3. Сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз: $y_3 = \log_2(x-2) - 1$.

• Область определения $y_3$: $x > 2$.
• Асимптота $y_3$: $x=2$.
• Пересечение с Ox для $y_3$: $\log_2(x-2) - 1 = 0 \Rightarrow \log_2(x-2) = 1 \Rightarrow x-2 = 2 \Rightarrow x=4$. Точка $(4, 0)$.

4. Отражаем часть графика $y_3$, лежащую ниже оси Ox, симметрично относительно оси Ox.

• Часть графика $y_3$ при $x \ge 4$ остается на месте.
• Часть графика $y_3$ при $2 < x < 4$ отражается вверх. Например, точка $(3, -1)$ на графике $y_3$ (так как $\log_2(3-2)-1 = 0-1=-1$) переходит в точку $(3, 1)$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=2$ (стремится к $+\infty$). Он касается оси Ox в точке $(4, 0)$, образуя в ней излом. При $2 < x < 4$ кривая убывает от $+\infty$ до $0$, проходя через точку $(3,1)$. При $x > 4$ кривая возрастает, проходя через точку $(6,1)$.