Номер 5.38, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.4*. Десятичные логарифмы. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.38, страница 159.

5.38 Определите характеристику и мантиссу десятичного логарифма:

а) $lg 1999;$

б) $lg 2000;$

в) $lg 0,423;$

г) $lg 0,035;$

д) $lg 345;$

е) $lg 0,0007.$

Десятичный логарифм любого положительного числа $x$ можно представить в виде суммы его целой части, называемой характеристикой, и неотрицательной дробной части (меньшей 1), называемой мантиссой.

Чтобы найти характеристику и мантиссу, представим число $x$ в стандартном виде: $x = a \cdot 10^p$, где $1 \le a < 10$, а $p$ — целое число (порядок числа). Тогда $lg(x) = lg(a \cdot 10^p) = lg(a) + lg(10^p) = p + lg(a)$.

Отсюда следует, что:

• Характеристика логарифма равна $p$ — показателю степени в стандартной записи числа.
• Мантисса логарифма равна $lg(a)$.

Правила для определения характеристики $p$:

• Если $x > 1$, то характеристика $p$ на единицу меньше числа цифр в целой части числа $x$.
• Если $0 < x < 1$, то характеристика $p$ — это отрицательное число, модуль которого на единицу больше числа нулей после запятой до первой значащей цифры.

а) lg 1999

Представим число $1999$ в стандартном виде: $1999 = 1,999 \cdot 10^3$. Здесь показатель степени $p=3$. Следовательно, характеристика логарифма равна 3. Мантисса равна $lg(1,999)$. Таким образом, $lg(1999) = 3 + lg(1,999)$.

Ответ: характеристика равна 3, мантисса равна $lg(1,999)$.

б) lg 2000

Представим число $2000$ в стандартном виде: $2000 = 2 \cdot 10^3$. Характеристика равна показателю степени, то есть $p=3$. Мантисса равна $lg(2)$. Таким образом, $lg(2000) = 3 + lg(2)$.

Ответ: характеристика равна 3, мантисса равна $lg(2)$.

в) lg 0,423

Представим число $0,423$ в стандартном виде: $0,423 = 4,23 \cdot 10^{-1}$. Характеристика равна показателю степени, то есть $p=-1$. Мантисса равна $lg(4,23)$. Таким образом, $lg(0,423) = -1 + lg(4,23)$.

Ответ: характеристика равна -1, мантисса равна $lg(4,23)$.

г) lg 0,035

Представим число $0,035$ в стандартном виде: $0,035 = 3,5 \cdot 10^{-2}$. Характеристика равна показателю степени, то есть $p=-2$. Мантисса равна $lg(3,5)$. Таким образом, $lg(0,035) = -2 + lg(3,5)$.

Ответ: характеристика равна -2, мантисса равна $lg(3,5)$.

д) lg 345

Представим число $345$ в стандартном виде: $345 = 3,45 \cdot 10^2$. Характеристика равна показателю степени, то есть $p=2$. Мантисса равна $lg(3,45)$. Таким образом, $lg(345) = 2 + lg(3,45)$.

Ответ: характеристика равна 2, мантисса равна $lg(3,45)$.

е) lg 0,0007

Представим число $0,0007$ в стандартном виде: $0,0007 = 7 \cdot 10^{-4}$. Характеристика равна показателю степени, то есть $p=-4$. Мантисса равна $lg(7)$. Таким образом, $lg(0,0007) = -4 + lg(7)$.

Ответ: характеристика равна -4, мантисса равна $lg(7)$.