Страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

$5.37^\circ$ Что называют характеристикой и мантиссой десятичного логарифма?

Десятичный логарифм (обозначается $\lg x$) — это логарифм по основанию 10. Любой десятичный логарифм положительного числа можно представить в виде суммы его целой части и неотрицательной дробной части. Это представление лежит в основе понятий характеристики и мантиссы.

Характеристикой десятичного логарифма называют его целую часть.

Мантиссой десятичного логарифма называют его неотрицательную дробную часть.

Таким образом, для любого положительного числа $N$, его десятичный логарифм $\lg N$ можно единственным образом представить в виде суммы: $\lg N = c + m$ где $c$ — целое число ($c \in \mathbb{Z}$), которое является характеристикой, а $m$ — число из полуинтервала $[0, 1)$, которое является мантиссой.

Найти характеристику можно, взяв целую часть от значения логарифма: $c = [\lg N]$ (функция «пол» или «антье»). Мантисса затем вычисляется как разность: $m = \lg N - c$. Важно, что мантисса по определению всегда неотрицательна.

Практический смысл этих понятий становится ясен при использовании стандартной записи числа. Любое положительное число $N$ можно записать в виде $N = a \cdot 10^c$, где $1 \le a < 10$, а $c$ — целое число (порядок числа). Если прологарифмировать это равенство по основанию 10, получим: $\lg N = \lg(a \cdot 10^c) = \lg a + \lg 10^c = c + \lg a$ В этой формуле слагаемое $c$ (порядок числа) является характеристикой логарифма. Поскольку $1 \le a < 10$, то $\lg 1 \le \lg a < \lg 10$, что эквивалентно $0 \le \lg a < 1$. Таким образом, слагаемое $\lg a$ является мантиссой логарифма $\lg N$.

Например, рассмотрим число $N = 345.6$. В стандартном виде это $3.456 \cdot 10^2$. Тогда $\lg 345.6 = 2 + \lg 3.456$. Характеристика равна $2$, а мантисса равна $\lg 3.456 \approx 0.5386$. Сам логарифм $\lg 345.6 \approx 2.5386$.

В другом примере, для числа $N = 0.03456 = 3.456 \cdot 10^{-2}$, имеем $\lg 0.03456 = -2 + \lg 3.456$. Характеристика равна $-2$, а мантисса та же: $\lg 3.456 \approx 0.5386$. Сам логарифм при этом равен $\lg 0.03456 \approx -2 + 0.5386 = -1.4614$. Важно правильно выделять характеристику для отрицательных логарифмов: это всегда целое число, не превосходящее значение логарифма. Так, для $-1.4614$ характеристикой будет $[-1.4614] = -2$, а не $-1$, поскольку мантисса должна быть неотрицательной ($m = -1.4614 - (-2) = 0.5386 \ge 0$).

Ответ: Характеристикой десятичного логарифма ($\lg N$) называют его целую часть $c = [\lg N]$. Мантиссой десятичного логарифма называют его неотрицательную дробную часть $m = \lg N - [\lg N]$, где $0 \le m < 1$. Любой десятичный логарифм является суммой своей характеристики и мантиссы: $\lg N = c + m$.

5.38 Определите характеристику и мантиссу десятичного логарифма:

а) $lg 1999;$

б) $lg 2000;$

в) $lg 0,423;$

г) $lg 0,035;$

д) $lg 345;$

е) $lg 0,0007.$

Десятичный логарифм любого положительного числа $x$ можно представить в виде суммы его целой части, называемой характеристикой, и неотрицательной дробной части (меньшей 1), называемой мантиссой.

Чтобы найти характеристику и мантиссу, представим число $x$ в стандартном виде: $x = a \cdot 10^p$, где $1 \le a < 10$, а $p$ — целое число (порядок числа). Тогда $lg(x) = lg(a \cdot 10^p) = lg(a) + lg(10^p) = p + lg(a)$.

Отсюда следует, что:

• Характеристика логарифма равна $p$ — показателю степени в стандартной записи числа.
• Мантисса логарифма равна $lg(a)$.

Правила для определения характеристики $p$:

• Если $x > 1$, то характеристика $p$ на единицу меньше числа цифр в целой части числа $x$.
• Если $0 < x < 1$, то характеристика $p$ — это отрицательное число, модуль которого на единицу больше числа нулей после запятой до первой значащей цифры.

а) lg 1999

Представим число $1999$ в стандартном виде: $1999 = 1,999 \cdot 10^3$. Здесь показатель степени $p=3$. Следовательно, характеристика логарифма равна 3. Мантисса равна $lg(1,999)$. Таким образом, $lg(1999) = 3 + lg(1,999)$.

Ответ: характеристика равна 3, мантисса равна $lg(1,999)$.

б) lg 2000

Представим число $2000$ в стандартном виде: $2000 = 2 \cdot 10^3$. Характеристика равна показателю степени, то есть $p=3$. Мантисса равна $lg(2)$. Таким образом, $lg(2000) = 3 + lg(2)$.

Ответ: характеристика равна 3, мантисса равна $lg(2)$.

в) lg 0,423

Представим число $0,423$ в стандартном виде: $0,423 = 4,23 \cdot 10^{-1}$. Характеристика равна показателю степени, то есть $p=-1$. Мантисса равна $lg(4,23)$. Таким образом, $lg(0,423) = -1 + lg(4,23)$.

Ответ: характеристика равна -1, мантисса равна $lg(4,23)$.

г) lg 0,035

Представим число $0,035$ в стандартном виде: $0,035 = 3,5 \cdot 10^{-2}$. Характеристика равна показателю степени, то есть $p=-2$. Мантисса равна $lg(3,5)$. Таким образом, $lg(0,035) = -2 + lg(3,5)$.

Ответ: характеристика равна -2, мантисса равна $lg(3,5)$.

д) lg 345

Представим число $345$ в стандартном виде: $345 = 3,45 \cdot 10^2$. Характеристика равна показателю степени, то есть $p=2$. Мантисса равна $lg(3,45)$. Таким образом, $lg(345) = 2 + lg(3,45)$.

Ответ: характеристика равна 2, мантисса равна $lg(3,45)$.

е) lg 0,0007

Представим число $0,0007$ в стандартном виде: $0,0007 = 7 \cdot 10^{-4}$. Характеристика равна показателю степени, то есть $p=-4$. Мантисса равна $lg(7)$. Таким образом, $lg(0,0007) = -4 + lg(7)$.

Ответ: характеристика равна -4, мантисса равна $lg(7)$.

С помощью таблиц мантисс логарифмов вычислите приближенно (5.39—5.40):

5.39 а) $lg 3,54$;

б) $lg 35,4$;

в) $lg 354$;

г) $lg 0,354$;

д) $lg 0,0354$;

е) $lg 3540$.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием характеристики и мантиссы десятичного логарифма. Любое положительное число $N$ можно представить в стандартном виде $N = a \cdot 10^p$, где $1 \le a < 10$, а $p$ — целое число. Тогда его десятичный логарифм вычисляется по формуле: $\lg N = \lg(a \cdot 10^p) = \lg a + \lg 10^p = p + \lg a$.

В этом выражении целое число $p$ называется характеристикой логарифма, а значение $\lg a$ — мантиссой. Мантисса является неотрицательной правильной дробью ($0 \le \lg a < 1$) и зависит только от последовательности значащих цифр числа $N$. Характеристика же зависит от положения десятичной запятой.

Все числа в задании имеют одинаковую последовательность значащих цифр: 3, 5, 4. Это значит, что мантиссы их логарифмов будут одинаковы и равны $\lg 3,54$. По таблице мантисс логарифмов (например, по четырехзначным таблицам Брадиса) находим значение для 3,54:

$\lg 3,54 \approx 0,5490$.

Теперь вычислим логарифм для каждого числа, определяя его характеристику.

а) lg 3,54

Представим число в стандартном виде: $3,54 = 3,54 \cdot 10^0$.

Характеристика $p = 0$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 3,54 = p + m = 0 + 0,5490 = 0,5490$.

Ответ: $\lg 3,54 \approx 0,5490$.

б) lg 35,4

Представим число в стандартном виде: $35,4 = 3,54 \cdot 10^1$.

Характеристика $p = 1$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 35,4 = p + m = 1 + 0,5490 = 1,5490$.

Ответ: $\lg 35,4 \approx 1,5490$.

в) lg 354

Представим число в стандартном виде: $354 = 3,54 \cdot 10^2$.

Характеристика $p = 2$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 354 = p + m = 2 + 0,5490 = 2,5490$.

Ответ: $\lg 354 \approx 2,5490$.

г) lg 0,354

Представим число в стандартном виде: $0,354 = 3,54 \cdot 10^{-1}$.

Характеристика $p = -1$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 0,354 = p + m = -1 + 0,5490 = -0,4510$.

Ответ: $\lg 0,354 \approx -0,4510$.

д) lg 0,0354

Представим число в стандартном виде: $0,0354 = 3,54 \cdot 10^{-2}$.

Характеристика $p = -2$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 0,0354 = p + m = -2 + 0,5490 = -1,4510$.

Ответ: $\lg 0,0354 \approx -1,4510$.

е) lg 3540

Представим число в стандартном виде: $3540 = 3,54 \cdot 10^3$.

Характеристика $p = 3$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 3540 = p + m = 3 + 0,5490 = 3,5490$.

Ответ: $\lg 3540 \approx 3,5490$.

5.40 а) $lg 7.28$;

б) $lg 39.8$;

в) $lg 756$;

г) $lg 0.32$;

д) $lg 0.0572$;

е) $lg 0.00137$.

Для нахождения десятичного логарифма ($\lg$) числа, мы используем его представление в стандартном виде. Любое положительное число $x$ можно записать как $x = a \cdot 10^k$, где $1 \le a < 10$, а $k$ — целое число. Это позволяет разложить логарифм на две части: характеристику и мантиссу.

Формула для вычисления: $\lg x = \lg(a \cdot 10^k) = \lg a + \lg 10^k = k + \lg a$.

• $k$ — это характеристика логарифма. Она показывает порядок числа. Если $x > 1$, то $k$ на единицу меньше числа цифр в целой части числа $x$. Если $0 < x < 1$, то $k$ — это отрицательное число, модуль которого на единицу больше числа нулей после запятой до первой значащей цифры.
• $\lg a$ — это мантисса логарифма. Это всегда неотрицательное число в диапазоне $[0, 1)$. Мантисса зависит только от набора цифр в числе $x$ и определяется с помощью таблиц логарифмов или калькулятора.

Вычислим значения для каждого из заданных чисел, округляя результат до четырех знаков после запятой.

а)

Для числа $7,28$ имеем: $7,28 = 7,28 \cdot 10^0$. Характеристика $k=0$. $\lg 7,28 = 0 + \lg 7,28$. Используя калькулятор, находим: $\lg 7,28 \approx 0,8621$.

Ответ: $\lg 7,28 \approx 0,8621$.

б)

Для числа $39,8$ представим его в стандартном виде: $39,8 = 3,98 \cdot 10^1$. Характеристика $k=1$. $\lg 39,8 = \lg(3,98 \cdot 10^1) = 1 + \lg 3,98$. Используя калькулятор, $\lg 3,98 \approx 0,5999$. Следовательно, $\lg 39,8 \approx 1 + 0,5999 = 1,5999$.

Ответ: $\lg 39,8 \approx 1,5999$.

в)

Для числа $756$ представим его в стандартном виде: $756 = 7,56 \cdot 10^2$. Характеристика $k=2$. $\lg 756 = \lg(7,56 \cdot 10^2) = 2 + \lg 7,56$. Используя калькулятор, $\lg 7,56 \approx 0,8785$. Следовательно, $\lg 756 \approx 2 + 0,8785 = 2,8785$.

Ответ: $\lg 756 \approx 2,8785$.

г)

Для числа $0,32$ представим его в стандартном виде: $0,32 = 3,2 \cdot 10^{-1}$. Характеристика $k=-1$. $\lg 0,32 = \lg(3,2 \cdot 10^{-1}) = -1 + \lg 3,2$. Используя калькулятор, $\lg 3,2 \approx 0,5051$. Следовательно, $\lg 0,32 \approx -1 + 0,5051 = -0,4949$.

Ответ: $\lg 0,32 \approx -0,4949$.

д)

Для числа $0,0572$ представим его в стандартном виде: $0,0572 = 5,72 \cdot 10^{-2}$. Характеристика $k=-2$. $\lg 0,0572 = \lg(5,72 \cdot 10^{-2}) = -2 + \lg 5,72$. Используя калькулятор, $\lg 5,72 \approx 0,7574$. Следовательно, $\lg 0,0572 \approx -2 + 0,7574 = -1,2426$.

Ответ: $\lg 0,0572 \approx -1,2426$.

е)

Для числа $0,00137$ представим его в стандартном виде: $0,00137 = 1,37 \cdot 10^{-3}$. Характеристика $k=-3$. $\lg 0,00137 = \lg(1,37 \cdot 10^{-3}) = -3 + \lg 1,37$. Используя калькулятор, $\lg 1,37 \approx 0,1367$. Следовательно, $\lg 0,00137 \approx -3 + 0,1367 = -2,8633$.

Ответ: $\lg 0,00137 \approx -2,8633$.

С помощью таблиц антилогарифмов найдите приближённо A, если (5.41—5.42):

5.41 a) $ \lg A = 0,48 $; б) $ \lg A = 1,48 $; в) $ \lg A = -0,52 $;
г) $ \lg A = -1,52 $; д) $ \lg A = 3,48 $; е) $ \lg A = -2,52 $.

Для нахождения числа $A$ по его десятичному логарифму $lg A$ необходимо найти антилогарифм: $A = 10^{\lg A}$. При использовании таблиц антилогарифмов значение логарифма представляют в виде суммы его целой части (характеристики $c$) и положительной дробной части (мантиссы $m$).

Таким образом, $lg A = c + m$, где $c$ — целое число, а $0 \le m < 1$.Тогда число $A$ вычисляется по формуле: $A = 10^{c+m} = 10^c \cdot 10^m$.

Значение $10^m$ (антилогарифм мантиссы) находится по таблице антилогарифмов. Характеристика $c$ определяет порядок числа $A$, то есть отвечает за положение десятичной запятой в итоговом числе.

Если значение логарифма отрицательно, его необходимо преобразовать так, чтобы мантисса стала положительной. Например, для $lg A = -1,52$ мы делаем следующее: $lg A = -1,52 = -2 + 2 - 1,52 = -2 + 0,48$. В этом случае характеристика $c = -2$, а мантисса $m = 0,48$.

Во всех пунктах данной задачи мантисса логарифма оказывается одинаковой и равной $0,48$. По таблице антилогарифмов (или с помощью калькулятора) находим значение для этой мантиссы:$10^{0,48} \approx 3,020$.Это значение мы будем использовать для решения всех пунктов.

Представим логарифм в виде суммы характеристики и мантиссы: $lg A = 0 + 0,48$.Характеристика $c = 0$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{0,48} = 10^0 \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 1 \cdot 3,020 = 3,020$.

Ответ: $A \approx 3,020$.

Представим логарифм в виде суммы характеристики и мантиссы: $lg A = 1 + 0,48$.Характеристика $c = 1$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{1,48} = 10^1 \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 10 \cdot 3,020 = 30,20$.

Ответ: $A \approx 30,20$.

Для отрицательного логарифма найдем характеристику и положительную мантиссу:$lg A = -0,52 = -1 + 1 - 0,52 = -1 + 0,48$.Характеристика $c = -1$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{-0,52} = 10^{-1} \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 0,1 \cdot 3,020 = 0,3020$.

Ответ: $A \approx 0,3020$.

Для отрицательного логарифма найдем характеристику и положительную мантиссу:$lg A = -1,52 = -2 + 2 - 1,52 = -2 + 0,48$.Характеристика $c = -2$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{-1,52} = 10^{-2} \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 0,01 \cdot 3,020 = 0,03020$.

Ответ: $A \approx 0,03020$.

Представим логарифм в виде суммы характеристики и мантиссы: $lg A = 3 + 0,48$.Характеристика $c = 3$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{3,48} = 10^3 \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 1000 \cdot 3,020 = 3020$.

Ответ: $A \approx 3020$.

Для отрицательного логарифма найдем характеристику и положительную мантиссу:$lg A = -2,52 = -3 + 3 - 2,52 = -3 + 0,48$.Характеристика $c = -3$, мантисса $m = 0,48$.Число $A$ равно: $A = 10^{-2,52} = 10^{-3} \cdot 10^{0,48}$.Используя табличное значение $10^{0,48} \approx 3,020$, получаем:$A \approx 0,001 \cdot 3,020 = 0,003020$.

Ответ: $A \approx 0,003020$.

5.42 a) $lg A = 0.57;$

б) $lg A = 1.28;$

в) $lg A = 2.54;$

г) $lg A = -0.44;$

д) $lg A = -1.28;$

е) $lg A = -2.72.$

Чтобы найти число $A$ по его десятичному логарифму, нужно воспользоваться определением логарифма. Если $lg A = x$, то это эквивалентно экспоненциальной записи $A = 10^x$.

а) Дано уравнение $lg A = 0,57$.

Согласно определению десятичного логарифма, мы можем записать это в виде степени:

$A = 10^{0,57}$

В данном случае целая часть логарифма (характеристика) равна 0, а дробная часть (мантисса) равна 0,57. Характеристика 0 означает, что $10^0 \le A < 10^1$, то есть $1 \le A < 10$.

Ответ: $A = 10^{0,57}$.

б) Дано уравнение $lg A = 1,28$.

По определению логарифма:

$A = 10^{1,28}$

Мы можем представить это как $A = 10^{1+0,28} = 10^1 \cdot 10^{0,28} = 10 \cdot 10^{0,28}$. Характеристика равна 1, мантисса равна 0,28. Характеристика 1 означает, что $10^1 \le A < 10^2$, то есть $10 \le A < 100$.

Ответ: $A = 10^{1,28}$.

в) Дано уравнение $lg A = 2,54$.

По определению логарифма:

$A = 10^{2,54}$

Мы можем представить это как $A = 10^{2+0,54} = 10^2 \cdot 10^{0,54} = 100 \cdot 10^{0,54}$. Характеристика равна 2, мантисса равна 0,54. Характеристика 2 означает, что $10^2 \le A < 10^3$, то есть $100 \le A < 1000$.

Ответ: $A = 10^{2,54}$.

г) Дано уравнение $lg A = -0,44$.

По определению логарифма:

$A = 10^{-0,44}$

Чтобы найти характеристику и мантиссу, представим отрицательный логарифм в виде суммы отрицательного целого числа и положительной дроби: $lg A = -0,44 = -1 + 1 - 0,44 = -1 + 0,56$.

Таким образом, характеристика равна -1, а мантисса равна 0,56. Это означает, что $10^{-1} \le A < 10^0$, то есть $0,1 \le A < 1$.

Ответ: $A = 10^{-0,44}$.

д) Дано уравнение $lg A = -1,28$.

По определению логарифма:

$A = 10^{-1,28}$

Представим логарифм в стандартной форме с положительной мантиссой: $lg A = -1,28 = -2 + 2 - 1,28 = -2 + 0,72$.

Характеристика равна -2, мантисса равна 0,72. Это означает, что $10^{-2} \le A < 10^{-1}$, то есть $0,01 \le A < 0,1$.

Ответ: $A = 10^{-1,28}$.

е) Дано уравнение $lg A = -2,72$.

По определению логарифма:

$A = 10^{-2,72}$

Представим логарифм в стандартной форме с положительной мантиссой: $lg A = -2,72 = -3 + 3 - 2,72 = -3 + 0,28$.

Характеристика равна -3, мантисса равна 0,28. Это означает, что $10^{-3} \le A < 10^{-2}$, то есть $0,001 \le A < 0,01$.

Ответ: $A = 10^{-2,72}$.