Страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.1° Какое уравнение называют простейшим показательным уравнением?

6.1°

Простейшим показательным уравнением называют уравнение вида $a^x = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное), $a$ — основание степени, которое является заданным положительным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \ne 1$), и $b$ — заданное число.

Рассмотрим это уравнение подробнее:

• Переменная $x$ находится в показателе степени, что и определяет тип уравнения как показательное.
• Основание $a$ должно удовлетворять строгим условиям: $a > 0$ и $a \ne 1$. Это необходимо, чтобы функция $y=a^x$ была монотонной и определенной на всей числовой оси, что гарантирует существование и единственность решения при определенных условиях на $b$.
• Свободный член $b$ влияет на наличие корней уравнения.
  • Если $b > 0$, то уравнение $a^x = b$ всегда имеет единственный действительный корень. Этот корень находится с помощью логарифма по определению: $x = \log_a b$.
  • Если $b \le 0$, то уравнение $a^x = b$ не имеет действительных корней, так как показательная функция с положительным основанием ($a > 0$) принимает только положительные значения.

Таким образом, под простейшим показательным уравнением обычно понимают уравнение, в котором неизвестная величина находится только в показателе степени, а основание и правая часть являются константами. Решение множества более сложных показательных уравнений сводится к решению одного или нескольких простейших.

Ответ: Простейшим показательным уравнением называют уравнение вида $a^x = b$, где $a$ – заданное число, причем $a > 0$ и $a \ne 1$, $b$ – заданное число, а $x$ – переменная.

6.2° Сколько корней имеет уравнение $a^x = b$, $a > 0$, $a \ne 1$, если:

а) $b \le 0$;

б) $b > 0$?

а) Рассмотрим уравнение $a^x = b$ при условии $a > 0, a \ne 1$ и $b \le 0$. Показательная функция $y = a^x$ по определению принимает только положительные значения при любом действительном $x$. То есть, область значений показательной функции — это интервал $(0, +\infty)$. В данном случае правая часть уравнения, число $b$, является неположительным ($b \le 0$). Поскольку значение $a^x$ всегда строго больше нуля, а $b$ меньше либо равно нулю, равенство $a^x = b$ не может быть выполнено ни при каком значении $x$. Следовательно, у уравнения нет корней.
Ответ: 0 корней.

б) Рассмотрим уравнение $a^x = b$ при условии $a > 0, a \ne 1$ и $b > 0$. Показательная функция $y = a^x$ является строго монотонной на всей области определения (возрастает при $a>1$ и убывает при $0<a<1$). Это означает, что каждое свое значение она принимает ровно один раз. Поскольку по условию $b > 0$, число $b$ входит в область значений показательной функции, которая равна $(0, +\infty)$. Следовательно, существует единственное значение $x$, для которого равенство $a^x = b$ будет верным. Это значение по определению логарифма равно $x = \log_a b$. Так как условия для существования логарифма ($a > 0, a \ne 1, b > 0$) выполнены, уравнение всегда имеет один и только один корень.
Ответ: 1 корень.

6.3 Чему равен корень уравнения $a^x = b$, если $a > 0, a \neq 1, b > 0$?

6.3 Дано показательное уравнение $a^x = b$. Корень этого уравнения — это значение переменной $x$, при котором равенство становится верным. В задаче требуется найти этот корень.

Указаны условия: основание $a$ больше нуля ($a>0$) и не равно единице ($a \neq 1$), а число $b$ также больше нуля ($b>0$). Эти условия являются стандартными для определения логарифма и гарантируют существование единственного решения.

По определению, логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где $a>0$, $a \neq 1$) называется показатель степени, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

Это определение можно записать в виде тождества: если $a^x = b$, то $x = \log_a b$.

Таким образом, решение (корень) уравнения $a^x = b$ есть логарифм числа $b$ по основанию $a$.

Ответ: $x = \log_a b$

Решите уравнение (6.4–6.8):

6.4 а) $2^x = 2^5$;

б) $2^x = 2^{-3}$;

в) $2^x = 2^0$;

г) $3^x = 9$;

д) $5^x = \frac{1}{5}$;

е) $7^x = \frac{1}{49}$;

ж) $(0,2)^x = \frac{1}{5}$;

з) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{9}$;

и) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$.

а) $2^x = 2^5$

В данном уравнении основания степеней в левой и правой частях одинаковы и равны 2. Если степени с одинаковым основанием ($a > 0, a \neq 1$) равны, то равны и их показатели.

Следовательно, приравниваем показатели степеней:

$x = 5$

Ответ: $5$.

б) $2^x = 2^{-3}$

Основания степеней в обеих частях уравнения равны 2. Поэтому мы можем приравнять их показатели.

$x = -3$

Ответ: $-3$.

в) $2^x = 2^0$

Основания степеней в обеих частях уравнения равны 2. Приравниваем показатели степеней.

$x = 0$

Ответ: $0$.

г) $3^x = 9$

Для решения этого уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. Основание левой части равно 3. Представим правую часть, число 9, как степень с основанием 3.

$9 = 3^2$

Подставим это в исходное уравнение:

$3^x = 3^2$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$.

д) $5^x = \frac{1}{5}$

Приведем правую часть уравнения к основанию 5. Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

Уравнение принимает вид:

$5^x = 5^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$x = -1$

Ответ: $-1$.

е) $7^x = \frac{1}{49}$

Приведем обе части уравнения к основанию 7. Сначала представим 49 как степень 7:

$49 = 7^2$

Теперь представим дробь $\frac{1}{49}$ как степень с основанием 7:

$\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$

Исходное уравнение теперь выглядит так:

$7^x = 7^{-2}$

Приравниваем показатели:

$x = -2$

Ответ: $-2$.

ж) $(0,2)^x = \frac{1}{5}$

Чтобы решить это уравнение, приведем основания в обеих частях к одному виду. Преобразуем десятичную дробь 0,2 в обыкновенную:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь уравнение можно переписать в виде:

$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{5}$

Любое число без показателя степени можно представить как это число в первой степени, то есть $\frac{1}{5} = (\frac{1}{5})^1$.

$(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^1$

Основания равны, значит, равны и показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$.

з) $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{9}$

Приведем правую часть к основанию $\frac{1}{3}$.

Мы знаем, что $9 = 3^2$. Тогда:

$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$

Подставляем это в уравнение:

$(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^2$

Основания степеней равны, поэтому приравниваем их показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$.

и) $(\frac{1}{2})^x = 8$

Для решения этого уравнения приведем обе части к одному основанию. Удобно использовать основание 2.

Преобразуем левую часть, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$

Преобразуем правую часть:

$8 = 2^3$

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{-x} = 2^3$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$-x = 3$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -3$

Ответ: $-3$.

6.5 а) $27^x = 3;$

б) $(0,04)^x = 0,2;$

в) $49^x = \frac{1}{7};$

г) $(\frac{1}{9})^x = 3;$

д) $(\frac{1}{8})^x = 16;$

е) $(\frac{1}{2})^x = -8;$

ж) $5^x = 0;$

з) $(\frac{1}{64})^x = 2;$

и) $(\frac{2}{3})^x = 1,5.$

а) Исходное уравнение: $27^x = 3$. Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3. Число 27 можно представить как $3^3$. Подставим это в уравнение: $(3^3)^x = 3^1$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, левая часть преобразуется в $3^{3x}$. Теперь уравнение имеет вид $3^{3x} = 3^1$. Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней: $3x = 1$. Разделив обе части на 3, находим $x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

б) Исходное уравнение: $(0,04)^x = 0,2$. Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$, а $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Также можно заметить, что $(0,2)^2 = 0,04$. Подставим это в уравнение: $((0,2)^2)^x = 0,2^1$. Используя свойство степени, получаем $(0,2)^{2x} = 0,2^1$. Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: $2x = 1$. Отсюда $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

в) Исходное уравнение: $49^x = \frac{1}{7}$. Приведем обе части к основанию 7. Число 49 это $7^2$, а дробь $\frac{1}{7}$ это $7^{-1}$. Подставляем эти значения в уравнение: $(7^2)^x = 7^{-1}$. Упрощаем левую часть: $7^{2x} = 7^{-1}$. Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели: $2x = -1$. Находим $x$: $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

г) Исходное уравнение: $(\frac{1}{9})^x = 3$. Приведем обе части к основанию 3. Основание в левой части $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$. Подставляем в уравнение: $(3^{-2})^x = 3^1$. Упрощаем левую часть: $3^{-2x} = 3^1$. Приравниваем показатели степеней: $-2x = 1$. Решаем относительно $x$: $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

д) Исходное уравнение: $(\frac{1}{8})^x = 16$. Приведем обе части к основанию 2. Знаем, что $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$, а $16 = 2^4$. Уравнение принимает вид $(2^{-3})^x = 2^4$. Упрощаем: $2^{-3x} = 2^4$. Приравниваем показатели: $-3x = 4$. Находим $x$: $x = -\frac{4}{3}$.
Ответ: $x = -\frac{4}{3}$.

е) Исходное уравнение: $(\frac{1}{2})^x = -8$. Показательная функция $y = a^x$ при $a > 0$ (в данном случае $a = \frac{1}{2}$) определена для всех действительных $x$ и принимает только положительные значения ($y > 0$). В правой части уравнения стоит отрицательное число -8. Так как положительное число в любой степени не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: нет решений.

ж) Исходное уравнение: $5^x = 0$. Показательная функция $y = 5^x$ с основанием $5 > 0$ принимает строго положительные значения для любого действительного $x$. Она никогда не может быть равна нулю. Таким образом, у уравнения нет решений.
Ответ: нет решений.

з) Исходное уравнение: $(\frac{1}{64})^x = 2$. Приведем обе части к основанию 2. Основание в левой части $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$. Подставляем в уравнение: $(2^{-6})^x = 2^1$. Упрощаем левую часть: $2^{-6x} = 2^1$. Приравниваем показатели степеней: $-6x = 1$. Решаем относительно $x$: $x = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{6}$.

и) Исходное уравнение: $(\frac{2}{3})^x = 1,5$. Преобразуем десятичную дробь 1,5 в обыкновенную: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Уравнение примет вид $(\frac{2}{3})^x = \frac{3}{2}$. Заметим, что правая часть является обратной дробью для основания в левой части: $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$. Таким образом, уравнение можно записать как $(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^{-1}$. Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $x = -1$.
Ответ: $x = -1$.

6.6 a) $5^x - 5^{x-1} = 100;$

б) $9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30;$

в) $3^{2x+1} - 9^x = 18;$

г) $4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60;$

д) $4^{x+1} + 4^{x+2} = 40;$

е) $3^{x-1} - 3^{x-2} = 36.$

$5^x - 5^{x-1} = 100$
Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x - 5^x \cdot 5^{-1} = 100$
$5^x(1 - 5^{-1}) = 100$
$5^x(1 - \frac{1}{5}) = 100$
$5^x \cdot \frac{4}{5} = 100$
Теперь выразим $5^x$:
$5^x = 100 \cdot \frac{5}{4}$
$5^x = 25 \cdot 5$
$5^x = 125$
Представим 125 как степень числа 5: $125 = 5^3$.
$5^x = 5^3$
Следовательно, $x = 3$.
Ответ: $x=3$.

$9^{x+1} + 3^{2x+4} = 30$
Приведем все степени к одному основанию 3, используя то, что $9 = 3^2$:
$(3^2)^{x+1} + 3^{2x+4} = 30$
$3^{2(x+1)} + 3^{2x+4} = 30$
$3^{2x+2} + 3^{2x+4} = 30$
Вынесем за скобки общий множитель $3^{2x}$:
$3^{2x} \cdot 3^2 + 3^{2x} \cdot 3^4 = 30$
$3^{2x}(3^2 + 3^4) = 30$
$3^{2x}(9 + 81) = 30$
$3^{2x} \cdot 90 = 30$
$3^{2x} = \frac{30}{90}$
$3^{2x} = \frac{1}{3}$
Представим $\frac{1}{3}$ как степень числа 3: $3^{-1}$.
$3^{2x} = 3^{-1}$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x=-0.5$.

$3^{2x+1} - 9^x = 18$
Приведем все степени к основанию 3, зная, что $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$:
$3^{2x+1} - 3^{2x} = 18$
Вынесем за скобки общий множитель $3^{2x}$:
$3^{2x} \cdot 3^1 - 3^{2x} = 18$
$3^{2x}(3 - 1) = 18$
$3^{2x} \cdot 2 = 18$
$3^{2x} = \frac{18}{2}$
$3^{2x} = 9$
Представим 9 как $3^2$:
$3^{2x} = 3^2$
$2x = 2$
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

$4^{x+1} - 2^{2x-2} = 60$
Приведем все степени к основанию 2, зная, что $4 = 2^2$:
$(2^2)^{x+1} - 2^{2x-2} = 60$
$2^{2(x+1)} - 2^{2x-2} = 60$
$2^{2x+2} - 2^{2x-2} = 60$
Вынесем за скобки $2^{2x}$:
$2^{2x} \cdot 2^2 - 2^{2x} \cdot 2^{-2} = 60$
$2^{2x}(2^2 - 2^{-2}) = 60$
$2^{2x}(4 - \frac{1}{4}) = 60$
$2^{2x} \cdot \frac{15}{4} = 60$
$2^{2x} = 60 \cdot \frac{4}{15}$
$2^{2x} = 4 \cdot 4 = 16$
Представим 16 как $2^4$:
$2^{2x} = 2^4$
$2x = 4$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

$4^{x+1} + 4^{x+2} = 40$
Вынесем за скобки общий множитель $4^x$:
$4^x \cdot 4^1 + 4^x \cdot 4^2 = 40$
$4^x(4 + 16) = 40$
$4^x \cdot 20 = 40$
$4^x = \frac{40}{20}$
$4^x = 2$
Приведем левую часть к основанию 2: $(2^2)^x = 2^1$.
$2^{2x} = 2^1$
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $x=0.5$.

$3^{x-1} - 3^{x-2} = 36$
Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{x-2}$. Для этого представим $3^{x-1}$ как $3^{(x-2)+1} = 3^{x-2} \cdot 3^1$.
$3^{x-2} \cdot 3 - 3^{x-2} = 36$
$3^{x-2}(3 - 1) = 36$
$3^{x-2} \cdot 2 = 36$
$3^{x-2} = \frac{36}{2}$
$3^{x-2} = 18$
Поскольку 18 не является целой степенью числа 3, прологарифмируем обе части по основанию 3:
$\log_3(3^{x-2}) = \log_3(18)$
$x-2 = \log_3(18)$
Используя свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$, разложим $\log_3(18)$:
$x-2 = \log_3(9 \cdot 2) = \log_3(9) + \log_3(2)$
$x-2 = 2 + \log_3(2)$
$x = 4 + \log_3(2)$
Ответ: $x = 4 + \log_3(2)$.

6.7 a) $3^x = 4$;

б) $2^x = 7$;

в) $5^x = \frac{1}{2}$.

а) Дано показательное уравнение $3^x = 4$.
Для нахождения неизвестной переменной $x$, которая находится в показателе степени, необходимо использовать определение логарифма. Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется такой показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.
Записывается это так: $x = \log_a b$ является решением уравнения $a^x = b$.
В данном уравнении основание $a = 3$, а число $b = 4$.
Следовательно, применяя определение логарифма, получаем решение:
$x = \log_3 4$.
Ответ: $x = \log_3 4$.

б) Дано показательное уравнение $2^x = 7$.
Решение этого уравнения находится аналогично предыдущему, с помощью определения логарифма.
В этом случае основание $a = 2$, а число $b = 7$.
Таким образом, показатель степени $x$ равен логарифму числа 7 по основанию 2:
$x = \log_2 7$.
Ответ: $x = \log_2 7$.

в) Дано показательное уравнение $5^x = \frac{1}{2}$.
Применяя определение логарифма, где основание $a = 5$ и число $b = \frac{1}{2}$, получаем:
$x = \log_5 \left(\frac{1}{2}\right)$.
Этот ответ можно упростить, используя свойства логарифмов. Воспользуемся свойством логарифма степени: $\log_a(c^p) = p \cdot \log_a c$.
Представим дробь $\frac{1}{2}$ в виде степени: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Теперь подставим это выражение в наш логарифм:
$x = \log_5(2^{-1})$.
Применяя свойство логарифма степени, вынесем показатель $-1$ за знак логарифма:
$x = -1 \cdot \log_5 2 = -\log_5 2$.
Оба ответа, $x = \log_5 \frac{1}{2}$ и $x = -\log_5 2$, являются верными, но второй вариант считается более упрощенным.
Ответ: $x = -\log_5 2$.

6.8 a) $9 \cdot 5^x - 25 \cdot 3^x = 0;$

б) $27 \cdot 5^x - 125 \cdot 3^x = 0;$

в) $27 \cdot 4^x - 8 \cdot 9^x = 0.$

а) $9 \cdot 5^x - 25 \cdot 3^x = 0$

Перенесем одно из слагаемых в правую часть уравнения:

$9 \cdot 5^x = 25 \cdot 3^x$

Разделим обе части уравнения на $3^x$. Так как $3^x > 0$ при любом значении $x$, это преобразование является равносильным.

$9 \cdot \frac{5^x}{3^x} = 25$

Используем свойство степеней $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$:

$9 \cdot (\frac{5}{3})^x = 25$

Разделим обе части на 9:

$(\frac{5}{3})^x = \frac{25}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{3}$:

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^2$

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$x = 2$

Ответ: $2$

б) $27 \cdot 5^x - 125 \cdot 3^x = 0$

Перенесем слагаемое с $3^x$ в правую часть:

$27 \cdot 5^x = 125 \cdot 3^x$

Разделим обе части уравнения на $3^x$ (так как $3^x \ne 0$):

$27 \cdot \frac{5^x}{3^x} = 125$

$27 \cdot (\frac{5}{3})^x = 125$

Разделим обе части на 27:

$(\frac{5}{3})^x = \frac{125}{27}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{3}$, зная что $125 = 5^3$ и $27 = 3^3$:

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 3$

Ответ: $3$

в) $27 \cdot 4^x - 8 \cdot 9^x = 0$

Перенесем одно из слагаемых в правую часть:

$27 \cdot 4^x = 8 \cdot 9^x$

Разделим обе части уравнения на $9^x$ (так как $9^x \ne 0$):

$27 \cdot \frac{4^x}{9^x} = 8$

$27 \cdot (\frac{4}{9})^x = 8$

Разделим обе части на 27:

$(\frac{4}{9})^x = \frac{8}{27}$

Представим основания $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{8}{27} $ через общую базу. Заметим, что $4=2^2$, $9=3^2$, $8=2^3$, $27=3^3$.

$\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = (\frac{2}{3})^2$

$\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$

Подставим эти выражения в уравнение:

$((\frac{2}{3})^2)^x = (\frac{2}{3})^3$

Используем свойство степени $(a^b)^c = a^{bc}$:

$(\frac{2}{3})^{2x} = (\frac{2}{3})^3$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

Ответ: $1,5$