Номер 6.4, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.1. Простейшие показательные уравнения. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.4, страница 166.

Решите уравнение (6.4–6.8):

6.4 а) $2^x = 2^5$;

б) $2^x = 2^{-3}$;

в) $2^x = 2^0$;

г) $3^x = 9$;

д) $5^x = \frac{1}{5}$;

е) $7^x = \frac{1}{49}$;

ж) $(0,2)^x = \frac{1}{5}$;

з) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \frac{1}{9}$;

и) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$.

а) $2^x = 2^5$

В данном уравнении основания степеней в левой и правой частях одинаковы и равны 2. Если степени с одинаковым основанием ($a > 0, a \neq 1$) равны, то равны и их показатели.

Следовательно, приравниваем показатели степеней:

$x = 5$

Ответ: $5$.

---

б) $2^x = 2^{-3}$

Основания степеней в обеих частях уравнения равны 2. Поэтому мы можем приравнять их показатели.

$x = -3$

Ответ: $-3$.

---

в) $2^x = 2^0$

Основания степеней в обеих частях уравнения равны 2. Приравниваем показатели степеней.

$x = 0$

Ответ: $0$.

---

г) $3^x = 9$

Для решения этого уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. Основание левой части равно 3. Представим правую часть, число 9, как степень с основанием 3.

$9 = 3^2$

Подставим это в исходное уравнение:

$3^x = 3^2$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$.

---

д) $5^x = \frac{1}{5}$

Приведем правую часть уравнения к основанию 5. Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

Уравнение принимает вид:

$5^x = 5^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$x = -1$

Ответ: $-1$.

---

е) $7^x = \frac{1}{49}$

Приведем обе части уравнения к основанию 7. Сначала представим 49 как степень 7:

$49 = 7^2$

Теперь представим дробь $\frac{1}{49}$ как степень с основанием 7:

$\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$

Исходное уравнение теперь выглядит так:

$7^x = 7^{-2}$

Приравниваем показатели:

$x = -2$

Ответ: $-2$.

---

ж) $(0,2)^x = \frac{1}{5}$

Чтобы решить это уравнение, приведем основания в обеих частях к одному виду. Преобразуем десятичную дробь 0,2 в обыкновенную:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь уравнение можно переписать в виде:

$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{5}$

Любое число без показателя степени можно представить как это число в первой степени, то есть $\frac{1}{5} = (\frac{1}{5})^1$.

$(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^1$

Основания равны, значит, равны и показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$.

---

з) $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{9}$

Приведем правую часть к основанию $\frac{1}{3}$.

Мы знаем, что $9 = 3^2$. Тогда:

$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$

Подставляем это в уравнение:

$(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^2$

Основания степеней равны, поэтому приравниваем их показатели:

$x = 2$

Ответ: $2$.

---

и) $(\frac{1}{2})^x = 8$

Для решения этого уравнения приведем обе части к одному основанию. Удобно использовать основание 2.

Преобразуем левую часть, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$

Преобразуем правую часть:

$8 = 2^3$

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{-x} = 2^3$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$-x = 3$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -3$

Ответ: $-3$.