Номер 5.48, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.5*. Степенные функции. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.48, страница 163.

5.48 Постройте график функции:

а) $y = x^2$;

б) $y = x^4$;

в) $y = x^3$;

г) $y = x^5$;

д) $y = x^{-1}$;

е) $y = x^{-3}$;

ж) $y = x^{-2}$;

з) $y = x^{-4}$.

а) $y = x^2$

Это степенная функция с натуральным четным показателем 2. Графиком является парабола.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Все действительные числа.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Все неотрицательные числа.
• Четность: функция четная, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума.

Для построения графика найдем несколько точек:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	4	1	0	1	4

Соединяя эти точки плавной кривой, получаем параболу с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.

Ответ: График функции $y=x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0,0)$, симметричная относительно оси Oy, проходящая через точки $(-1,1)$, $(1,1)$, $(-2,4)$, $(2,4)$.

б) $y = x^4$

Это степенная функция с натуральным четным показателем 4. График похож на параболу $y=x^2$, но имеет некоторые отличия.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция четная, $y(-x) = (-x)^4 = x^4 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Точка $(0, 0)$ — точка минимума.

Таблица значений:

$x$	-1.5	-1	0	1	1.5
$y$	5.0625	1	0	1	5.0625

По сравнению с параболой $y=x^2$, график $y=x^4$ при $|x| < 1$ лежит ближе к оси Ox (более пологий), а при $|x| > 1$ растет быстрее (более крутой).

Ответ: График функции $y=x^4$ — кривая, симметричная относительно оси Oy, с вершиной в точке $(0,0)$. Она проходит через точки $(-1,1)$ и $(1,1)$ и является более "плоской" около нуля и более "крутой" при $|x|>1$ по сравнению с параболой $y=x^2$.

в) $y = x^3$

Это степенная функция с натуральным нечетным показателем 3. Графиком является кубическая парабола.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция нечетная, $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения.

Таблица значений:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$	-8	-1	0	1	8

График расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=x^3$ — кубическая парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно него, возрастающая на всей числовой прямой.

г) $y = x^5$

Степенная функция с натуральным нечетным показателем 5. График похож на кубическую параболу $y=x^3$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция нечетная, $y(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения.

Таблица значений:

$x$	-1.5	-1	0	1	1.5
$y$	-7.59	-1	0	1	7.59

График $y=x^5$ прижат к оси Ox сильнее, чем $y=x^3$ на интервале $(-1, 1)$, и растет быстрее при $|x| > 1$.

Ответ: График функции $y=x^5$ — кривая, симметричная относительно начала координат, возрастающая на всей числовой прямой. По сравнению с $y=x^3$, она более пологая около нуля и более крутая при $|x|>1$.

д) $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$

Степенная функция с целым отрицательным показателем -1. Графиком является гипербола.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. $x \ne 0$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. $y \ne 0$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).
• Четность: функция нечетная, $y(-x) = \frac{1}{-x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Таблица значений:

$x$	-2	-1	-0.5	0.5	1	2
$y$	-0.5	-1	-2	2	1	0.5

График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=1/x$ — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой находятся в I и III четвертях и симметричны относительно начала координат.

е) $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$

Степенная функция с целым отрицательным нечетным показателем -3. График похож на гиперболу.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.
• Четность: функция нечетная, $y(-x) = \frac{1}{(-x)^3} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

Таблица значений:

$x$	-2	-1	-0.5	0.5	1	2
$y$	-1/8	-1	-8	8	1	1/8

Ветви графика расположены в I и III четвертях. По сравнению с $y=1/x$, график $y=1/x^3$ быстрее приближается к оси Ox при $|x| \to \infty$ и быстрее стремится к бесконечности при $x \to 0$.

Ответ: График функции $y=1/x^3$ — кривая из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат, с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

ж) $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Степенная функция с целым отрицательным четным показателем -2.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. Функция принимает только положительные значения.
• Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.
• Четность: функция четная, $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$.

Таблица значений:

$x$	-2	-1	-0.5	0.5	1	2
$y$	1/4	1	4	4	1	1/4

График состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях.

Ответ: График функции $y=1/x^2$ — кривая из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси Oy, с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

з) $y = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$

Степенная функция с целым отрицательным четным показателем -4.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Асимптоты: $x=0$ и $y=0$.
• Четность: функция четная, $y(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$.

Таблица значений:

$x$	-2	-1	-0.5	0.5	1	2
$y$	1/16	1	16	16	1	1/16

График похож на график $y=1/x^2$, но при $|x| \to \infty$ быстрее приближается к оси Ox, а при $x \to 0$ быстрее стремится к бесконечности.

Ответ: График функции $y=1/x^4$ — кривая из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси Oy, с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Ветви графика более "прижаты" к осям координат по сравнению с графиком $y=1/x^2$.