Номер 5.44, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.5*. Степенные функции. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.44, страница 163.

5.44° Входит ли число 0 в область определения функции $y = x^{\beta}$, если $\beta > 0$?

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В нашем случае мы рассматриваем степенную функцию $y = x^\beta$. Необходимо определить, существует ли значение этой функции при $x = 0$ при условии, что показатель степени $\beta > 0$.

Подставим значение $x = 0$ в функцию:
$y = 0^\beta$

По определению возведения в степень, любое положительное число $\beta$ в качестве показателя степени при основании, равном нулю, дает в результате ноль. То есть, для любого $\beta > 0$ выражение $0^\beta$ определено и равно 0.

Рассмотрим несколько примеров:
Если $\beta = 3$ (целое положительное), то $y = 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.
Если $\beta = 1/2$ (дробное положительное), то $y = 0^{1/2} = \sqrt{0} = 0$.
Если $\beta = \pi$ (иррациональное положительное), то $y = 0^\pi = 0$.

Поскольку для любого $\beta > 0$ мы можем вычислить значение функции при $x=0$, то число 0 входит в область определения функции $y = x^\beta$.

Стоит отметить, что если бы показатель степени был отрицательным ($\beta < 0$), то мы бы получили $y = 0^\beta = \frac{1}{0^{|\beta|}} = \frac{1}{0}$, что является неопределенным выражением из-за деления на ноль. Если бы $\beta = 0$, выражение $0^0$ было бы неопределенностью. Но условие задачи $\beta > 0$ гарантирует, что функция определена в точке $x=0$.

Ответ: да, число 0 входит в область определения функции $y = x^\beta$, если $\beta > 0$.