Номер 6.1, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 6.1. Простейшие показательные уравнения - номер 6.1, страница 166.

Условие.

6.1° Какое уравнение называют простейшим показательным уравнением?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

6.1°

Простейшим показательным уравнением называют уравнение вида $a^x = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное), $a$ — основание степени, которое является заданным положительным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \ne 1$), и $b$ — заданное число.

Рассмотрим это уравнение подробнее:

• Переменная $x$ находится в показателе степени, что и определяет тип уравнения как показательное.
• Основание $a$ должно удовлетворять строгим условиям: $a > 0$ и $a \ne 1$. Это необходимо, чтобы функция $y=a^x$ была монотонной и определенной на всей числовой оси, что гарантирует существование и единственность решения при определенных условиях на $b$.
• Свободный член $b$ влияет на наличие корней уравнения.
  • Если $b > 0$, то уравнение $a^x = b$ всегда имеет единственный действительный корень. Этот корень находится с помощью логарифма по определению: $x = \log_a b$.
  • Если $b \le 0$, то уравнение $a^x = b$ не имеет действительных корней, так как показательная функция с положительным основанием ($a > 0$) принимает только положительные значения.

Таким образом, под простейшим показательным уравнением обычно понимают уравнение, в котором неизвестная величина находится только в показателе степени, а основание и правая часть являются константами. Решение множества более сложных показательных уравнений сводится к решению одного или нескольких простейших.

Ответ: Простейшим показательным уравнением называют уравнение вида $a^x = b$, где $a$ – заданное число, причем $a > 0$ и $a \ne 1$, $b$ – заданное число, а $x$ – переменная.