Номер 6.8, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.1. Простейшие показательные уравнения. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.8, страница 166.

6.8 a) $9 \cdot 5^x - 25 \cdot 3^x = 0;$

б) $27 \cdot 5^x - 125 \cdot 3^x = 0;$

в) $27 \cdot 4^x - 8 \cdot 9^x = 0.$

а) $9 \cdot 5^x - 25 \cdot 3^x = 0$

Перенесем одно из слагаемых в правую часть уравнения:

$9 \cdot 5^x = 25 \cdot 3^x$

Разделим обе части уравнения на $3^x$. Так как $3^x > 0$ при любом значении $x$, это преобразование является равносильным.

$9 \cdot \frac{5^x}{3^x} = 25$

Используем свойство степеней $\frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c$:

$9 \cdot (\frac{5}{3})^x = 25$

Разделим обе части на 9:

$(\frac{5}{3})^x = \frac{25}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{3}$:

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^2$

Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$x = 2$

Ответ: $2$

б) $27 \cdot 5^x - 125 \cdot 3^x = 0$

Перенесем слагаемое с $3^x$ в правую часть:

$27 \cdot 5^x = 125 \cdot 3^x$

Разделим обе части уравнения на $3^x$ (так как $3^x \ne 0$):

$27 \cdot \frac{5^x}{3^x} = 125$

$27 \cdot (\frac{5}{3})^x = 125$

Разделим обе части на 27:

$(\frac{5}{3})^x = \frac{125}{27}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{5}{3}$, зная что $125 = 5^3$ и $27 = 3^3$:

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^3$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 3$

Ответ: $3$

в) $27 \cdot 4^x - 8 \cdot 9^x = 0$

Перенесем одно из слагаемых в правую часть:

$27 \cdot 4^x = 8 \cdot 9^x$

Разделим обе части уравнения на $9^x$ (так как $9^x \ne 0$):

$27 \cdot \frac{4^x}{9^x} = 8$

$27 \cdot (\frac{4}{9})^x = 8$

Разделим обе части на 27:

$(\frac{4}{9})^x = \frac{8}{27}$

Представим основания $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{8}{27} $ через общую базу. Заметим, что $4=2^2$, $9=3^2$, $8=2^3$, $27=3^3$.

$\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = (\frac{2}{3})^2$

$\frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = (\frac{2}{3})^3$

Подставим эти выражения в уравнение:

$((\frac{2}{3})^2)^x = (\frac{2}{3})^3$

Используем свойство степени $(a^b)^c = a^{bc}$:

$(\frac{2}{3})^{2x} = (\frac{2}{3})^3$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

Ответ: $1,5$