Номер 6.14, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.2. Простейшие логарифмические уравнения. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.14, страница 169.

6.14* a) $\log_2 x + \log_3 x = \log_3 6;$

б) $\log_3 x + \log_4 x = 2 \log_4 12;$

в) $2 \log_4 x - \log_5 x = 3 \log_{\sqrt{5}} \frac{5}{2};$

г) $2 \log_4 x - \log_6 x = 2 \log_{\sqrt{6}} 3.$

а) $log_{2}x + log_{3}x = log_{3}6$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.

Для решения уравнения необходимо привести все логарифмы к одному основанию. Используем формулу перехода к новому основанию: $log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$. Приведем $log_{2}x$ к основанию 3:

$log_{2}x = \frac{log_{3}x}{log_{3}2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{log_{3}x}{log_{3}2} + log_{3}x = log_{3}6$

Вынесем общий множитель $log_{3}x$ за скобки:

$log_{3}x \left( \frac{1}{log_{3}2} + 1 \right) = log_{3}6$

Упростим выражение в скобках. Так как $\frac{1}{log_{b}a} = log_{a}b$, то $\frac{1}{log_{3}2} = log_{2}3$. А $1$ можно представить как $log_{2}2$.

$\frac{1}{log_{3}2} + 1 = log_{2}3 + log_{2}2 = log_{2}(3 \cdot 2) = log_{2}6$

Теперь уравнение имеет вид:

$log_{3}x \cdot log_{2}6 = log_{3}6$

Выразим $log_{3}x$:

$log_{3}x = \frac{log_{3}6}{log_{2}6}$

Чтобы упростить правую часть, снова воспользуемся формулой перехода к новому основанию, на этот раз к основанию $e$ (натуральный логарифм):

$\frac{log_{3}6}{log_{2}6} = \frac{\frac{\ln6}{\ln3}}{\frac{\ln6}{\ln2}} = \frac{\ln6}{\ln3} \cdot \frac{\ln2}{\ln6} = \frac{\ln2}{\ln3}$

По формуле перехода к новому основанию в обратном порядке $\frac{\ln2}{\ln3} = log_{3}2$.

Следовательно, мы получаем уравнение:

$log_{3}x = log_{3}2$

Из этого следует, что $x=2$. Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0$).

Ответ: $x=2$.

б) $log_{3}x + log_{4}x = 2log_{4}12$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифмы к основанию 4. Для этого используем формулу $log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$:

$log_{3}x = \frac{log_{4}x}{log_{4}3}$

Подставим в уравнение:

$\frac{log_{4}x}{log_{4}3} + log_{4}x = 2log_{4}12$

Вынесем $log_{4}x$ за скобки:

$log_{4}x \left( \frac{1}{log_{4}3} + 1 \right) = 2log_{4}12$

Упростим выражение в скобках: $\frac{1}{log_{4}3} = log_{3}4$ и $1 = log_{3}3$.

$\frac{1}{log_{4}3} + 1 = log_{3}4 + log_{3}3 = log_{3}(4 \cdot 3) = log_{3}12$

Уравнение принимает вид:

$log_{4}x \cdot log_{3}12 = 2log_{4}12$

Выразим $log_{4}x$:

$log_{4}x = \frac{2log_{4}12}{log_{3}12}$

Упростим правую часть, используя формулу перехода к основанию $e$:

$\frac{log_{4}12}{log_{3}12} = \frac{\frac{\ln12}{\ln4}}{\frac{\ln12}{\ln3}} = \frac{\ln3}{\ln4} = log_{4}3$

Подставим это обратно в уравнение для $log_{4}x$:

$log_{4}x = 2 \cdot log_{4}3$

Используя свойство логарифма $n \cdot log_{a}b = log_{a}(b^n)$:

$log_{4}x = log_{4}(3^2) = log_{4}9$

Отсюда $x=9$. Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 > 0$).

Ответ: $x=9$.

в) $2log_{4}x - log_{5}x = 3log_{\sqrt{5}}\frac{5}{2}$

ОДЗ: $x > 0$.

Сначала упростим правую часть уравнения. Используем формулу перехода к основанию 5:

$log_{\sqrt{5}}\frac{5}{2} = \frac{log_{5}\frac{5}{2}}{log_{5}\sqrt{5}} = \frac{log_{5}\frac{5}{2}}{log_{5}(5^{1/2})} = \frac{log_{5}\frac{5}{2}}{1/2} = 2log_{5}\frac{5}{2}$

Тогда правая часть равна: $3 \cdot \left(2log_{5}\frac{5}{2}\right) = 6log_{5}\frac{5}{2}$.

Теперь уравнение выглядит так: $2log_{4}x - log_{5}x = 6log_{5}\frac{5}{2}$.

Приведем все логарифмы в левой части к основанию 5:

$2\frac{log_{5}x}{log_{5}4} - log_{5}x = 6log_{5}\frac{5}{2}$

Вынесем $log_{5}x$ за скобки:

$log_{5}x \left( \frac{2}{log_{5}4} - 1 \right) = 6log_{5}\frac{5}{2}$

Упростим выражение в скобках: $\frac{2}{log_{5}4} - 1 = 2log_{4}5 - log_{4}4 = log_{4}(5^2) - log_{4}4 = log_{4}25 - log_{4}4 = log_{4}\frac{25}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$log_{5}x \cdot log_{4}\frac{25}{4} = 6log_{5}\frac{5}{2}$

Заметим, что $\frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2$. Тогда $log_{4}\frac{25}{4} = log_{4}\left(\left(\frac{5}{2}\right)^2\right) = 2log_{4}\frac{5}{2}$.

$log_{5}x \cdot 2log_{4}\frac{5}{2} = 6log_{5}\frac{5}{2}$

Выразим $log_{5}x$:

$log_{5}x = \frac{6log_{5}\frac{5}{2}}{2log_{4}\frac{5}{2}} = 3 \cdot \frac{log_{5}\frac{5}{2}}{log_{4}\frac{5}{2}}$

Упростим дробь $\frac{log_{5}(5/2)}{log_{4}(5/2)} = \frac{\ln(5/2)/\ln5}{\ln(5/2)/\ln4} = \frac{\ln4}{\ln5} = log_{5}4$.

Получаем: $log_{5}x = 3log_{5}4 = log_{5}(4^3) = log_{5}64$.

Следовательно, $x=64$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($64 > 0$).

Ответ: $x=64$.

г) $2log_{4}x - log_{6}x = 2log_{\sqrt{6}}3$

ОДЗ: $x > 0$.

Упростим правую часть. Перейдем к основанию 6:

$log_{\sqrt{6}}3 = \frac{log_{6}3}{log_{6}\sqrt{6}} = \frac{log_{6}3}{log_{6}(6^{1/2})} = \frac{log_{6}3}{1/2} = 2log_{6}3$

Правая часть равна: $2 \cdot (2log_{6}3) = 4log_{6}3$.

Уравнение: $2log_{4}x - log_{6}x = 4log_{6}3$.

Приведем логарифмы в левой части к основанию 6:

$2\frac{log_{6}x}{log_{6}4} - log_{6}x = 4log_{6}3$

Вынесем $log_{6}x$ за скобки:

$log_{6}x \left( \frac{2}{log_{6}4} - 1 \right) = 4log_{6}3$

Упростим выражение в скобках: $\frac{2}{log_{6}4} - 1 = 2log_{4}6 - log_{4}4 = log_{4}(6^2) - log_{4}4 = log_{4}36 - log_{4}4 = log_{4}\frac{36}{4} = log_{4}9$.

Уравнение принимает вид:

$log_{6}x \cdot log_{4}9 = 4log_{6}3$

Выразим $log_{6}x$:

$log_{6}x = \frac{4log_{6}3}{log_{4}9}$

Так как $log_{4}9 = log_{4}(3^2) = 2log_{4}3$, получаем:

$log_{6}x = \frac{4log_{6}3}{2log_{4}3} = 2 \cdot \frac{log_{6}3}{log_{4}3}$

Упростим дробь $\frac{log_{6}3}{log_{4}3} = \frac{\ln3/\ln6}{\ln3/\ln4} = \frac{\ln4}{\ln6} = log_{6}4$.

Получаем: $log_{6}x = 2log_{6}4 = log_{6}(4^2) = log_{6}16$.

Следовательно, $x=16$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($16 > 0$).

Ответ: $x=16$.