Номер 6.19, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.19, страница 172.

6.19 a) $3^{4x^2 - 6x + 3} - 10 \cdot 3^{2x^2 - 3x + 1} + 3 = 0;$

б) $2^{6x^2 - 8x + 3} - 5 \cdot 2^{3x^2 - 4x + 1} + 2 = 0;$

в) $2^{10x^2 - 8x - 23} + 2^{5x^2 - 4x - 12} - 3 = 0;$

г) $3^{8x^2 - 6x - 13} - 3^{4x^2 - 3x - 7} - 2 = 0.$

а) $3^{4x^2 - 6x + 3} - 10 \cdot 3^{2x^2 - 3x + 1} + 3 = 0$

Преобразуем показатель степени первого слагаемого: $4x^2 - 6x + 3 = 2(2x^2 - 3x + 1) + 1$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$3^{2(2x^2 - 3x + 1) + 1} - 10 \cdot 3^{2x^2 - 3x + 1} + 3 = 0$

$3^1 \cdot 3^{2(2x^2 - 3x + 1)} - 10 \cdot 3^{2x^2 - 3x + 1} + 3 = 0$

$3 \cdot (3^{2x^2 - 3x + 1})^2 - 10 \cdot 3^{2x^2 - 3x + 1} + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{2x^2 - 3x + 1}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$: $3t^2 - 10t + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3}$.

$t_1 = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня положительны, поэтому возвращаемся к исходной переменной.

1) $3^{2x^2 - 3x + 1} = 3$.

$2x^2 - 3x + 1 = 1$

$2x^2 - 3x = 0$

$x(2x - 3) = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = \frac{3}{2}$.

2) $3^{2x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{3}$.

$3^{2x^2 - 3x + 1} = 3^{-1}$

$2x^2 - 3x + 1 = -1$

$2x^2 - 3x + 2 = 0$

Дискриминант этого уравнения: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $x = 0$; $x = \frac{3}{2}$.

б) $2^{6x^2 - 8x + 3} - 5 \cdot 2^{3x^2 - 4x + 1} + 2 = 0$

Преобразуем показатель степени первого слагаемого: $6x^2 - 8x + 3 = 2(3x^2 - 4x + 1) + 1$.

Уравнение примет вид:

$2^{2(3x^2 - 4x + 1) + 1} - 5 \cdot 2^{3x^2 - 4x + 1} + 2 = 0$

$2 \cdot (2^{3x^2 - 4x + 1})^2 - 5 \cdot 2^{3x^2 - 4x + 1} + 2 = 0$

Сделаем замену: $t = 2^{3x^2 - 4x + 1}$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 5t + 2 = 0$

Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2 \cdot 2}$.

$t_1 = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня подходят. Выполняем обратную замену.

1) $2^{3x^2 - 4x + 1} = 2$.

$3x^2 - 4x + 1 = 1$

$3x^2 - 4x = 0$

$x(3x - 4) = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = \frac{4}{3}$.

2) $2^{3x^2 - 4x + 1} = \frac{1}{2}$.

$2^{3x^2 - 4x + 1} = 2^{-1}$

$3x^2 - 4x + 1 = -1$

$3x^2 - 4x + 2 = 0$

Дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8 < 0$. Корней нет.

Ответ: $x = 0$; $x = \frac{4}{3}$.

в) $2^{10x^2 - 8x - 23} + 2^{5x^2 - 4x - 12} - 3 = 0$

Преобразуем показатель степени первого слагаемого: $10x^2 - 8x - 23 = 2(5x^2 - 4x - 12) + 24 - 23 = 2(5x^2 - 4x - 12) + 1$.

Уравнение примет вид:

$2^{2(5x^2 - 4x - 12) + 1} + 2^{5x^2 - 4x - 12} - 3 = 0$

$2 \cdot (2^{5x^2 - 4x - 12})^2 + 2^{5x^2 - 4x - 12} - 3 = 0$

Сделаем замену: $t = 2^{5x^2 - 4x - 12}$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + t - 3 = 0$

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{-1 \pm 5}{2 \cdot 2}$.

$t_1 = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Так как $t>0$, корень $t_2 = -3/2$ является посторонним.

Возвращаемся к замене с $t_1=1$: $2^{5x^2 - 4x - 12} = 1$.

$2^{5x^2 - 4x - 12} = 2^0$

$5x^2 - 4x - 12 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант: $D_x = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 16}{2 \cdot 5}$.

$x_1 = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5}$.

Ответ: $x = 2$; $x = -\frac{6}{5}$.

г) $3^{8x^2 - 6x - 13} - 3^{4x^2 - 3x - 7} - 2 = 0$

Преобразуем показатель степени первого слагаемого: $8x^2 - 6x - 13 = 2(4x^2 - 3x - 7) + 14 - 13 = 2(4x^2 - 3x - 7) + 1$.

Уравнение примет вид:

$3^{2(4x^2 - 3x - 7)+1} - 3^{4x^2 - 3x - 7} - 2 = 0$

$3 \cdot (3^{4x^2 - 3x - 7})^2 - 3^{4x^2 - 3x - 7} - 2 = 0$

Сделаем замену: $t = 3^{4x^2 - 3x - 7}$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - t - 2 = 0$

Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2 \cdot 3}$.

$t_1 = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Корень $t_2 = -2/3$ не подходит, так как $t>0$.

Выполняем обратную замену с $t_1=1$: $3^{4x^2 - 3x - 7} = 1$.

$3^{4x^2 - 3x - 7} = 3^0$

$4x^2 - 3x - 7 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант: $D_x = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 11}{2 \cdot 4}$.

$x_1 = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

$x_2 = \frac{-8}{8} = -1$.

Ответ: $x = \frac{7}{4}$; $x = -1$.