Номер 6.20, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.20, страница 172.

6.20 a) $\log_5 (2x^2 - 3x + 1,2) = -1;$

Б) $\log_3 (3x^2 - 5x + 1) = 1;$

В) $\log_{\frac{1}{4}} (2x^2 - 7x - 6) = -2;$

Г) $\log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 17x + 9) = -3.$

а) Исходное уравнение: $\log_5(2x^2 - 3x + 1,2) = -1$.
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. Применим это свойство к нашему уравнению. Выражение под знаком логарифма должно быть больше нуля, т.е. $2x^2 - 3x + 1,2 > 0$.
$2x^2 - 3x + 1,2 = 5^{-1}$
$2x^2 - 3x + 1,2 = \frac{1}{5}$
$2x^2 - 3x + 1,2 = 0,2$
Переносим все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - 3x + 1,2 - 0,2 = 0$
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$.
Поскольку мы решали уравнение, где выражение под логарифмом равно $5^{-1} = 0,2$, что больше нуля, оба корня удовлетворяют области допустимых значений.
Ответ: $1; 0,5$.

б) Исходное уравнение: $\log_3(3x^2 - 5x + 1) = 1$.
По определению логарифма:
$3x^2 - 5x + 1 = 3^1$
$3x^2 - 5x + 1 = 3$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$3x^2 - 5x + 1 - 3 = 0$
$3x^2 - 5x - 2 = 0$
Находим дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Проверка ОДЗ: $3x^2 - 5x + 1 = 3^1 = 3 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $2; -\frac{1}{3}$.

в) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{4}}(2x^2 - 7x - 6) = -2$.
По определению логарифма:
$2x^2 - 7x - 6 = (\frac{1}{4})^{-2}$
$2x^2 - 7x - 6 = (4^{-1})^{-2} = 4^2 = 16$.
$2x^2 - 7x - 6 = 16$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$2x^2 - 7x - 6 - 16 = 0$
$2x^2 - 7x - 22 = 0$
Находим дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 49 + 176 = 225$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 15}{4} = \frac{22}{4} = 5,5$.
$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 15}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
Проверка ОДЗ: $2x^2 - 7x - 6 = 16 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $5,5; -2$.

г) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 17x + 9) = -3$.
По определению логарифма:
$x^2 - 17x + 9 = (\frac{1}{3})^{-3}$
$x^2 - 17x + 9 = (3^{-1})^{-3} = 3^3 = 27$.
$x^2 - 17x + 9 = 27$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 - 17x + 9 - 27 = 0$
$x^2 - 17x - 18 = 0$
Находим дискриминант:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 289 + 72 = 361$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 19}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
$x_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 19}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Проверка ОДЗ: $x^2 - 17x + 9 = 27 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $18; -1$.