Номер 6.13, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

6.2. Простейшие логарифмические уравнения. § 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 6.13, страница 169.

6.13 a) $ \log_2 x + 2 \log_4 x + 3 \log_8 x + 4 \log_{16} x = 4; $

б) $ \log_3 x + 2 \log_9 x + 3 \log_{27} x + 4 \log_{81} x = 8; $

в) $ \log_{\sqrt{2}} x + 2 \log_2 x + 4 \log_4 x + 6 \log_8 x = 12; $

г) $ \log_{\sqrt{3}} x + 2 \log_3 x + 4 \log_9 x + 6 \log_{27} x = 16. $

а) $log_2 x + 2 log_4 x + 3 log_8 x + 4 log_{16} x = 4$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов: $x > 0$.

Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию, в данном случае к основанию 2. Воспользуемся формулой смены основания логарифма: $log_{a^k} b = \frac{1}{k} log_a b$.

Преобразуем каждый член уравнения:

$log_4 x = log_{2^2} x = \frac{1}{2} log_2 x$

$log_8 x = log_{2^3} x = \frac{1}{3} log_2 x$

$log_{16} x = log_{2^4} x = \frac{1}{4} log_2 x$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$log_2 x + 2 \cdot (\frac{1}{2} log_2 x) + 3 \cdot (\frac{1}{3} log_2 x) + 4 \cdot (\frac{1}{4} log_2 x) = 4$

Упростим коэффициенты:

$log_2 x + log_2 x + log_2 x + log_2 x = 4$

Сложим подобные члены:

$4 log_2 x = 4$

Разделим обе части на 4:

$log_2 x = 1$

По определению логарифма, $x = 2^1$.

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $2 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $2$.

б) $log_3 x + 2 log_9 x + 3 log_{27} x + 4 log_{81} x = 8$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3.

$log_9 x = log_{3^2} x = \frac{1}{2} log_3 x$

$log_{27} x = log_{3^3} x = \frac{1}{3} log_3 x$

$log_{81} x = log_{3^4} x = \frac{1}{4} log_3 x$

Подставим преобразованные члены в уравнение:

$log_3 x + 2 \cdot (\frac{1}{2} log_3 x) + 3 \cdot (\frac{1}{3} log_3 x) + 4 \cdot (\frac{1}{4} log_3 x) = 8$

Упрощаем:

$log_3 x + log_3 x + log_3 x + log_3 x = 8$

$4 log_3 x = 8$

$log_3 x = 2$

Находим $x$ по определению логарифма:

$x = 3^2 = 9$

Проверяем ОДЗ: $9 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $9$.

в) $log_{\sqrt{2}} x + 2 log_2 x + 4 log_4 x + 6 log_8 x = 12$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 2. Учтем, что $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

$log_{\sqrt{2}} x = log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} log_2 x = 2 log_2 x$

$log_4 x = log_{2^2} x = \frac{1}{2} log_2 x$

$log_8 x = log_{2^3} x = \frac{1}{3} log_2 x$

Подставим в уравнение:

$2 log_2 x + 2 log_2 x + 4 \cdot (\frac{1}{2} log_2 x) + 6 \cdot (\frac{1}{3} log_2 x) = 12$

Упрощаем:

$2 log_2 x + 2 log_2 x + 2 log_2 x + 2 log_2 x = 12$

$8 log_2 x = 12$

$log_2 x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Находим $x$:

$x = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Проверяем ОДЗ: $2\sqrt{2} > 0$. Корень подходит.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

г) $log_{\sqrt{3}} x + 2 log_3 x + 4 log_9 x + 6 log_{27} x = 16$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3. Учтем, что $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.

$log_{\sqrt{3}} x = log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} log_3 x = 2 log_3 x$

$log_9 x = log_{3^2} x = \frac{1}{2} log_3 x$

$log_{27} x = log_{3^3} x = \frac{1}{3} log_3 x$

Подставим в уравнение:

$2 log_3 x + 2 log_3 x + 4 \cdot (\frac{1}{2} log_3 x) + 6 \cdot (\frac{1}{3} log_3 x) = 16$

Упрощаем:

$2 log_3 x + 2 log_3 x + 2 log_3 x + 2 log_3 x = 16$

$8 log_3 x = 16$

$log_3 x = 2$

Находим $x$:

$x = 3^2 = 9$

Проверяем ОДЗ: $9 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $9$.